逻辑论文 (15-15)

证明：让A和BΩψ和Γ的T-证明。让我们看看

A×B是Ωθ的T-证明。设M是一个A×B闭模型。因此，M是A闭合和B闭合。假设α∈M∈On和B∈M是这样的MαB²T。由于M是A闭的，MαB平方ψ，并且由于M是B闭的，因此MαB m2ξ。

因此，MαB²θ。

Ω-可证明性不同于通常的可证明性概念，例如，在一阶逻辑中，不涉及演绎演算。在里面Ω-逻辑，相同的uB集可能见证Ω-不同句子的可证明性。

例如，在Ω-逻辑，即∅。在里面

尽管如此，在Ω-思维方式中，

这可以通过几种方式来实现。例如：对于A⊆R，设MA是模型LκA（A，R），其中κA是（A，R）的最小可容许序数，

即，最小序数α＞ω使得Lα（A，R）是Kripke-Platek的模型集合论。以下结果归功于Solovay：

引理2.33。假设AD。那么对于每个A，B⊆R，A∈MB或B∈MA。

证明：考虑两人游戏，其中两人都玩整数

因此在游戏结束时，玩家I产生了x，而玩家II产生了y

当玩家I赢得游戏，当x∈A时↔ y∈B。τ是一个胜利

对于玩家I的策略，则对于每个实数z，z∈B iffτ*z∈A，依此类推

如果σ是玩家II的获胜策略，那么对于每个实数z，

z∈A iff z＊σ6∈B，因此A∈MB。

因此，在AD下，对于A，B⊆R，我们有κA＜κBiff A∈MB和B 6∈MA。由此得出κA=κB当MA=MB。

如果A是见证T`的实的uB集合Ω 那么我们可以说κA是ΩT-证明A.使用这个证明长度的概念，我们可以找到如下句子，如一阶逻辑中的G模型Rosser句子

不可判定的Ω-思维方式例如，设ξ（A，θ）为公式：

α（（M是ZF c∧关于∧Mα|=ZF C）→ Mα|=θ）。

利用G模型的对角化，设θ∈Sent为：

ZF C`“θ↔ ∀A（ξ（A，θ）→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））”

假设存在一个适当的Woodin基数类，我们有：

ZF C`Ω “θ↔ ∀A（ξ（A，θ）→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））

“假设ZF C`Ω θ和C见证了它。然后ZF C`Ω “→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））

“由一些D见证。假设Woodin有一个无法到达的极限基数，我们可以找到ZF C的C×D闭C.t.m.m

不可访问基数α，使得M满足对于实数的每个uB集A、 AD+在L（A，R）中成立，并且L（A、R）中的每组实数都是uB（见2.28）。

通过反射，设α∈MåOn使得CåM∈Mα，Mα|=“Cå uB”，以及

Mα|=ZF C+∀A（A是uB→ L（A，R）|=AD）。

那么，Mα|=θ

Mα|=“→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））。”

此外，Mα|=ξ（CåM，θ）。因此，在Mα中存在B，使得ξ（B，θ）

κB＜κ。但由于Mα|=“L（B，CåM，R）|=AD”，由引理

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