逻辑论文 (15-14)

一个矛盾，假设在M中，对于一些b∈b，b°“M[*g] α|=，

其中*

g是通用筛选器的标准名称。根据2.14号提案，在M上存在gB-泛型，使得B∈g并且M[g]是A-闭的。我们有

M[g]α|=T。因此，通过ii）M[g]

强制M[*]g] α|=。

定义2.29。（[17]）对于Tõ｛⏴｝⊆Sent，我们写T`Ω 如果存在uB集合a⊆R使得：

1） L（A，

2） （A，R）中的每个集合都是uB，

3） 对于ZF c的所有A-闭c.t.m.m和所有α∈m∈On，如果

Mα|=T，则Mα|=ξ。

因此，根据定理2.28，如果存在一类适当的Woodin基数，T`Ω 如果存在一个uB集a⊆R，则上述3）成立。

注意，通过上述i）和ii）的等价性，如果T是递归的，那么点3）可以写成：

3'）对于ZF c的所有A-闭合c.t.m.m，m²“t²Ω “。

根据定理2.28，如果存在一类适当的Woodin基数，或者如果只有L（R）|=AD，并且L（R）中的每一组实数都是uB，那么对于集合描述，T`Γ表示T`Ω ▪。然而，正如我们所料逆不成立：设M为ZF c的c.t.M，设α∈M∈On为使得Mα²ZF C。由于Mα是标准模型，Mα²CON（ZF C）。

这显示ZF C`Ω CON（ZF-C）。

我们说一个句子ξ∈Sent是ΩT-可证明的如果T`Ω ▪。如果A见证人T`Ω 那么我们说A是ΩT-证明，或证明A是Ω-来自T。

注意，如果A是uB并且满足定义2.29的1）和2），则A是一ΩΓiff的T-证明

L（A，R）²M（M是ZF c∧|=T→ Mα²ξ）。

不难看出，T’关系的复杂性Ω ⏴至多为∑3。

备注2.30。[7]中的参数本质上表明，如果AD+成立，那么对于每一组实数A，存在ZFC的A闭模型。

引理2.31。给定A，BuB集合，集合C=A×B是uB，如果M是则m既是a闭的又是B闭的。

证明：给定γ∈M∈On，设P=Coll（ω，γ）。对于固定的P名称

y表示B元素

▪G，{（τ，p）|p∈p，τ是实数的p-名，p°V（τ，

▪y)∈（A×B）

▪G}={（τ，p）|p∈p，τ是实数的p-名，p°Vτ∈a

▪G}。

因此，如果M是C-闭的，则该集合属于M，因此M是A-闭的。

对称地说，B也是如此。

推论2.32。设TŞ｛ξ，ψ｝⊆Sent。假设对于每个uB集合A，

L（A，R）|=AD+，并且P（R）中的每一个集合都是uB。

假设T`Ω ψ和T`Ω ▪。如果TŞ{ψ，ξ}`θ，则T`Ω θ。

因此

i） 如果T`Ω ξ和T`Ω ψ、 然后T`Ω Γ∧ψ。

ii）如果T`Ω ξ和T`Ω ⏴→ ψ、 然后T`Ω ψ。

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