逻辑论文 (15-13)

1.设置设P∈M，并且设H是V上的P-泛型。

设（N，∈）是（M，E）的传递坍缩，设G=π[H]。自从π（P）∈N，G是V上的π（P超过N。自π1以来

1.ZF C的传递模型的集合是绝对的，A是π1

1.，在V[G]中AN[G]=N[G]åA=N[G]åAåV[G]=N[G]åAV[G]。和

由于AV[G]＝AG，

AN[G]=N[G]∈AG∈N[G]。

由于M是ω-模型，传递坍缩π是

reals，因此，AM[H]=M[H]≠AH∈M[H]。

ii）⇒ i） 假设（M，E）对于每个π1是A-闭的

1.设置则它是W F闭合的，因为W F是π1

1.因此，根据引理2.22，（M，E）是成立的。

2.3控诉+。

定义2.24。（参见[12]）一个集合A⊆R是∞-Borel，如果对于某些Sõ｛α｝𕥄On

以及一些具有两个自由变量的公式ξ（x，A={y∈R|Lα[S，y]²ξ（S，y）}。

假设AD+DC，一组实数a是∞-Borel当式a∈L（S，R），对于S⊆Ord（参见[12]）。

定义2.25。θ是最小序数α，它不是任何函数π：R→ α。因此，如果实数可以是有序的，那么θ=（2ω）+。

回想一下，DCR是这样一句话：

R（R⊆ωω×ωω∧x∈ωωy∈ω

（（x，y）∈R）→f∈（ωω）ωn∈ω（（f（n），f（n+1））∈R）。

定义2.26。（参见[12]）（ZF+DCR）AD+说：

i） 每一组实数都是∞-Borel，

ii）如果λ＜Θ且π：λω→ ωω是一个连续函数，其中λ给定离散拓扑，则每A⊆ωω。

AD+通常意味着AD，而且还不知道AD是否意味着AD+。

Woodin已经证明，如果L（R）|=AD，那么L（R，|=AD+。

AD+对于包含所有real的内部模型是绝对的：

定理2.27。（参见[12]）（AD+）对于ZF的任何传递内部模型M具有R⊆M，M²AD+.

定理2.28。（[12]）如果存在一个适当的Woodin基数类，并且A⊆R是uB，则：

1） L（A，

2） （A，R）中的每个集合都是uB。

2.4.`的定义Ω 以及在强迫下的不变性。

请注意，以下内容是等效的：

i） 对于ZF c的所有A-闭c.t.m.m，所有α∈m∈On，并且所有B这样

M|=“B是一个c.B.a”，如果MαB|=T，则MαB|=ξ。

ii）对于ZF c的所有A-闭c.t.m.m和所有α∈m∈On，

如果Mα|=T，则Mα|=ξ。

证明：ii）⇒ i） 设M是ZFC的A闭c.t.M，α∈M≠On，且

设B使得M|=“B是c.B.a”。假设MαB|=T

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