逻辑论文 (15-12)

回想Woodin的以下结果：

定理2.19（参见[7]）。假设存在一类适当的Woodin基数。

则对于实数A的每个uB集合和每个强迫概念P，如果G⊆P是V-一般滤波器，则在V[G]中存在来自L（A，RV）的初等嵌入将A发送到AG。

推论2.20。假设有一类合适的伍丁枢机主教。然后

如果G⊆P是V-泛型的，则在V[G]中，对于每个公式ξ（x，y）和每个r∈RV，L（A，RV）²ξ（A，r）iff L（AG，RV[G]）²Γ（AG，r）。

特别地，如果ξ（x，y）是定义A-闭包的公式，如推论2.12，因此对于每个（一些）泛型，c.t.m.m是a-闭的iff M的扩展V[G]是在V[G]AG中闭合的。

即使对于不成立的ω，A闭模型的概念也是有意义的-模型，即给定一个uB集a⊆R，ZF C的（一个片段）的ω-模型M

是A-闭的如果对于所有偏序集P∈M，对于所有G⊆PV-泛型，

V[G]²M[G]åAG∈M[G]

即°P“M[

▪G]åA

▪G∈M[

▪G]“，其中

▪G是的标准P名称通用筛选器。

然而，让我们看到，A闭集的概念是有根据性的自然概括。

引理2.21。让ZF C*是ZF减去幂集公理。假设N是ZF C*的ω-模型，使得W F∈N∈N。则对于所有x∈ωω，x∈W F iff x∈W F N。

证明：⇒) 通过π1的向下绝对性

1.ω-模型的公式。

⇐) 假设x∈ωω∈N，x∈W F N和x/∈W F.对于每个N，设

设xn是一个实编码Ex。由于n|=“Ex是

充分成立”且W FåN∈N，则存在一个n0∈ω使得xn0 6∈W F

但是对于所有的mExn0，xm∈W F。由于Ex¼n0是不成立的，因此存在一个mExn

因此，Exãm是站不住脚的，产生了矛盾。

引理2.22。ZF C的每一个ω-模型都是W-F闭的。

证明：假设（M，E）是ZF C的一个不成立的W-F闭ω-模型。

设γ是在V中不成立的M的“序数”，设G是M中的偏序使得γ是可数的并且设x是M[G]编码中的实数ω的有序型γ。则x∈W F M[G]\W F，其中

引理2.21暗示M[G]≠WF6∈M[G]。由于M是W-F闭合的，由

上一个引理，x/∈W F M[G]

.所以Ex∈M[G]是不成立的。

因此M[G]6平方米

“基础”，与M²“基础”的事实相矛盾

M[G]是M的强迫扩张。

定理2.23。对于ZF C，（M，E）的每个ω-模型，如下

等效：

i） （M，E）是有根据的。

ii）（M，E）对于每个π1是A-闭合的1.集合A.

证明：i）⇒ ii）假设（M，E）是ZF C的ω-模型，它是有充分根据的。

固定A⊆R Aπ1

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。