逻辑论文 (15-10)

如以下2.11号提案所示。

引理2.10。假设A⊆R是uB，M是ZFC的A闭c.t.M。

设α使得M是可数的并且在Vα中是A-闭的。假设X≺Vα

可数的{M，A，S，T}∈X，其中T和S是证明A是ω1-uB，N是X的传递坍缩。那么，对于每个强迫概念P∈M和每一个N-一般滤波器g⊆P，M[g]åA∈M[g]。

证明：设π是X上的传递坍缩函数，因此，N=π（X）。允许

π（S）=S’和π（T）=T’。观察π（M）=M和π（A）=A≠X=

固定g⊆P∈MN-泛型。由于p[T’]⊆p[T]=A，写（Ag）N[g]

对于（π（A）g）N[g]

，我们有：

（Ag）N[g]=（p[T’]）N[g]⊆

并且由于p[S′]⊆p[S]=ωω，

N[g]≠A⊆（p[T′]）N[g]。

因此（Ag）N[g]=N[g]åA。由于M在N中是A-闭的，所以M[g]åM[g]。因此，M[g]åA=M[g]åN[g]å。

如果M是一个可数传递模型，而P是M中的偏序，我们说如果存在一个可数集，则M-一般滤波器G⊂P的集合G是可积的P的稠密子集的集合D（不一定在M中），使得G包含与D的每个成员相交的M-一般滤波器的集合。

注意，如果G是comeager，那么它在所有Mgeneric滤波器集合中的补码不是comeager。因为假设D和D0分别见证了G及其补码的共有性。则由于DõD0是可数的，存在一个M-一般滤波器G，它与DõD0中的所有稠密集相交。但是则G将同时属于G及其补码，这是不可能的。

在c.t.m.m的情况下，除了命题2.9之外，以下还提供了m是a-闭的另一个特征。

提案2.11。给定ZFC的A是uB集，M是c.t.M

相当于：

i） M是A-闭合的。

ii）对于所有P∈M，M-一般滤波器的集合g⊂P使得

M[g]∈A∈M[g]

是comeager。

证明：i）⇒ ii）设P∈M。设N如引理2.10中所示。由于N是可数，N中存在可数多个P的稠密集。设D={Di:i∈ω}是这个集合。设g⊆P是一个（MõD）-一般滤波器。自g与N中的每个稠密集相交，g是N-一般的，并且根据引理2.10，M[g]∈A∈M[g]。

ii）⇒ i） 设P∈M。对于一个矛盾，设P∈P是这样的p°p M[

▪G]åA

▪G/∈M[

▪G]。通过ii），设D={Di:i∈ω}是稠密集P的子集，使得对于所有（MõD）-一般g，M[g]∈A∈M[g]。设Vα，α是一个足够大的不可数正则基数，使得M，a，D∈Vα。

设T，S是证明A在Vα中为ω1-uB的数。设X≺Vα是可数的其中{D，M，A，T，S}∈X，并且设N是X的传递坍缩。设g是N-一般的，使得p∈g。通过元素性，p°NPM[

▪G]åA

▪G/∈M[

▪G]。

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