STEEL计划：证据框架 核心与终极-L (12-4)

我们稍后会处理MV的模型，但首先，我们希望表达几个对Steel使用和主要依赖LC以及概念的担忧“自然”。

第一个不等式指的是猜想2.1，ZFC的所有“自然”扩展都是与ZFC或某些LCA等一致。虽然没有证据表明到目前为止，这个猜想还远远没有解决。

事实上，我们缺乏“大基数”的一般定义。现在，它肯定会将概念的不明确性计入钢铁公司的项目是不公平的；然而没有最终证据表明任何无法确定的陈述与LCA相等是一个事实，这让人们对猜想第二个可能更为恶性的问题是，“自然理论”的概念不清楚。斯蒂尔一开始就告诉我们如果它与ZFC一致，断言关于集合的一些“事实”，并且不是元数学或证明论性质的，但这真的不多。

此外，MV的“自然度”范围从一开始就过于严格，因为它离开了提出了ZF+AD等理论，这些理论无疑表达了深层次的理论事实。

作为一种解释性的选择，可以定义一个集合论陈述“自然”，如果ZFC加上一些LCA证明在V的强制扩展中，或强制扩展的ZFC的一些可定义（允许设定参数）内部模型的V（包括可定义的，具有设置参数的，类强制扩展，保留ZFC）。通过这种解释，所有ZFC公理以及所有LCA都是自然的，因此是CH，V=L，V=HOD，SCH，以及它们的否定（事实上，所有已知与ZFC一致的真正的命题陈述，并断言关于套）。此外，在这种情况下，即使是与Choice相矛盾的理论，如ZF+AD，也会在现在被视为“自然”，因为它们也与ZFC+LCAs等一致。

这种解释似乎符合Steel的目标，但可以肯定的是，“与ZFC的一致性”或者ZFC+LCA似乎与常识、直觉不太一致“自然”的含义。此外，人们可以很容易地扭转这种做法。

这是一个自然的理论，如果它可以用ZF+LCA的模型来表达，这也允许更强大的LCs的存在，如Reinhardt和Berkeley Cardinals，以及ZF+LSA车型中的Choice“融合”理论。

2.2.作为最大性原则的大基数。钢铁公司对低碳钢的偏好也是受另一个原则的激励，他称之为“最大化解释力”，可以被看作由两部分组成：

最大化解释能力[MIP]。（A.）MV公理应该能够“表示”尽可能多的理论（“ZFC的自然扩展”）；（B.）所有MV公理所代表的理论应该是这样的，对于其中的任何两个，T和S、 如果Con（T）→ Con（S），则ΓS⊆ΓT（其中，给定一个理论T，ΓT={φ：Tφ}）。

LCA是MIP的典型案例研究。就（A.）而言我们已经看到，每一个“自然”理论都是在一个强迫扩展中实现的，或者另一个“自然”理论S的内部模型，前提是T和S是等一致的LCA；关于（B.），我们知道自然理论随着它们的一致性强度而成比例地上升。因此最终，

期望：

（*）随着自然理论在大的基本层次上的一致性不断上升，他们在不断增加的数学陈述中达成了一致。

以下是一些观察结果。第一个关于（B.）的问题是，到目前为止，MIP已经证明LCA仅部分满足，也就是说，对于特定类型的L中的句子´，算术句子的层次结构。以下是最多的，人们可以希望到目前为止证明：

经验事实。对于一致性强度为的任意两个自然理论T，S至少是理论上的：ZFC+“存在无限多个Woodin基数”，这样Con（T）→ Con（S），我们有1.）S⊆1.）T（其中，给定一个理论T1.）T是π的集合1.在T中可证明的句子）。

因此，MIP对LCA的适用性仅在二阶算术的水平。

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