STEEL计划：证据框架 核心与终极-L (12-10)

事实上，这个问题可能扩展到任何其他语句，而这些语句不是由ZFC。特别是，对于每一个这样的ξ，人们可能会问核心是否暗示了真相或Γ的虚假性。

接下来的结果为这些问题提供了答案，总体而言暴露了核心的不确定性。首先，我们概述了CH。

如果核存在，那么它满足GA，也就是说，它不具有任何适当的基。

Reitz[23]证明了ZFC的每个模型都有一个类强制扩展任何期望的Vα，满足V=HOD，并且是ZFC+GA.45的模型。根据[5]中的结果用于获取模型的类强制保留了可扩展基数。所以，从一个满足T=ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”的模型M，我们可以对其进行分类，以获得满足GA和（例如）-CH的T的模型M[H]。

然后用Coll（，＜Ord）M[H]对M[H]进行强迫，得到了MVT的一个模型，其核心是M[H]并且满足-CH。

现在，我们展示了如何将此策略扩展到所有∑2集可强制语句

定理4.2。设ξ是∑2语句（带参数），可以由集合强制强迫。假设存在一类适当的可扩展基数。然后在课堂上强迫保留可扩展基数的V的扩展语句，MV的多元宇宙是围绕扩展本身构建的。

证据通过设定力产生的第一个力。在强迫扩张中，设κ∈C（1）为Vκ|=ξ。然后以通常使用类强制的方式将GCH强制到κ以上，这样Vκ没有改变。正如在[23]中一样，我们可以进一步对力进行分类，以获得GA的模型，因此κ仍然没有变化。根据[5，26]中包含的结果，两个类强制概念保留可扩展基数。46因此，由于最终扩展M满足GA，如果G是Coll（，＜Ord）M-在M上的泛型，则MV多元宇宙的核心由MG的存在是因为在M中存在一类适当的可扩展基数，它是M 它本身此外，由于Vκ没有改变并满足ξ，因此在M中，我们得到Vκ|=ξ

而且，κ∈C（1），因为在C（1

并且满足Vκ=Hκ。因此，M|=ξ。

推论4.3。如果T=ZFC+“存在一类适当的可扩展基数”是一致，那么MVT加上核心满足CH或-CH连续体大小的值。

除了CH和CH之外，还有许多其他相关的∑2语句是可设置的，因此始终保持在MVT多元宇宙的核心。我们给予接下来再举几个例子。

推论4.4。如果上面的T是一致的，那么MVT加上核心满足2或其否定。

证据2是强制的，通过可数定向和1-策略闭合的强制，∑1语句，参数为1和2。此外，它的否定是由Coll（1，＜κ）强迫的，κa Mahlo基数。

著名的强制公理MA

ℵ1也等价于∑2语句，其中ℵ1.作为参数。因此，定理4.2得出以下结果：

推论4.5。如果上面的T是一致的，那么MVT加上核心满足

MAℵ1.

4.2.核心公理和强强迫公理。推论4.5帮助我们在更全面的普遍性，审查核心在强迫方面的行为公理。现在，我们清楚地看到了MVT的核心，T可能，甚至可能没有，具有可扩展基数，也与强强迫一致公理。[23]的推论3.8已经证明了适当强迫公理（PFA）是和GA.47一致。我们将这个结果也推广到MM、MM++等。

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