（额外篇章）逻辑文章 (13-2)

实数的Borel集是ωω或R，在可数交集下闭合和并集。2对于所有序数，α，使得0＜α＜ω1，并且b＜α，∑0α表示ω的开子集在π0中集合的可数并集下形成的ωb，和π0一表示ω的闭子集ω在∑的可数交集下形成0b。实数的投影集是ωω、 由互补（ωω–u、 对于u⊆ωω） 投影[p（u）={⟨x1，…，xn⟩∈ωω|∃y⟨x1，xn，y∈u｝]。对于所有的序数α，使得0＜α＜ω，π10表示ω的闭子集ω；π1一是通过取ω的开子集的补集而形成的ω、 ∑1.一；和∑1.α+1是由π1中集合的投影形成一。全幂集运算定义了集的累积层次结构V，例如V0=∅；Vα+1=℘（V0）；和Vλ=α＜λVα。在内部模型程序中（参见Woodin，200120102011；Kanamori，2012，a，b），可定义的幂集运算定义了可构造的宇宙，L（R），在集合V的宇宙中，其中集合是可传递的，使得α∈C⇐⇒ α⊆C；L（R）=Vω+1；Lα+1（R）=Def（Lα（R））；且Lλ（R）=α＜λ（Lα（R））。通过内部模型，Gödel（1940）证明了广义连续体假说，ℵ一ℵα=ℵα+1，以及选择公理，相对于ZFC的公理。然而，对于序数的可数传递集MZF的一个模型没有选择，可以定义一个泛型集G，这样，对于所有公式，ξ，或者是，都是由G中的条件f强制的。设M[G]=α＜κMa[G]，使得M0[G]={G}；其中λ＜κ，Mλ[G]=α＜λMα[G]；和Mα+1[G]=VαåMa[G].3G是M上的Cohen实，它包含一个集强迫集合力的关系，⊩，可以在地上定义模型M，使得强迫条件f是ω转化为{0,1}，并且如果f（u）=1则f⊩u∈G，如果f（u）=0则f⊕u∈/G。基数开放稠密地面模型的M和一般扩展G是相同的，仅当满足可数链条件（c.c.c.），使得给定一个链-即，偏序（自反、反对称，传递）集&存在一个可数的、最大的反链，由成对的不兼容的强制条件。通过集强制扩展，Cohen（19631964）构造了ZF模型，该模型否定了广义连续体假设，从而证明了它相对于ZF公理的独立性Gödel（1946/1990：1-2）提出，Orey句子的价值如果有人利用更有力的理论，新的无穷大公理——即大基数公理——是邻接的。5他写道：“在集合论中，例如，连续扩展可以用更强和更强的无穷大公理。当然不可能给出一个组合以及关于什么是无穷大公理的可判定的特征；但是可能存在，例如，以下类型的特征：无穷大公理是具有某种（可判定的）形式结构并且在加法是正确的。这种可证明性的概念可能具有所需的闭包性质，即以下可能为真：集合论的任何证明在集合论之上的下一个更高系统中的定理。可由证明替换从这样一个无穷大的公理。对于这样一个概念可证明性——一个完整性定理会成立，它会说集合论中可表达的每一个命题都可由现有公理加判定关于集合宇宙的大性的一些真实断言。

对于基数，x，a，C，C⊆a在a中是无界闭的，如果它是闭的[如果x＜C和则a∈C]和无界（C=a）（Kanamori，同前：360）。基数S在A中是静止的，如果，对于任何闭无界C⊆A，CÜS̸=∅（同前）。理想是在可数并集下闭合的集合的子集，而滤波器是在可数交集下闭合的子集（361）。基数κis正则ifκ的共尾性由具有基数的集合的并集组成小于κ–与κ相同。不可计数的正则极限基数是弱的不可访问的（同前）。强不可访问基数是正则的，具有强极限，使得如果λ＜κ，则2λ＜κ（同前）。

大基数公理是由初等嵌入定义的，

因此可以定义嵌入。对于模型A、B和条件ξ、j:A→ B

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