逻辑论文 (8-6)

因此，根据定理3.3和事实3.4，如果T是Ω-则T是可满足的Ω-一致的，即，如果存在α和B使得VαB²T，则对于每个uB集A上存在ZF c和α的A-闭c.t.m.m，使得Mα²T。

推论3.5（`的非紧性Ω). 假设L（R）|=AD

L（R）中的实数集是普遍的Baire。然后有这样一句话

ZF C`Ω 和所有S⊆ZF C有限，S 0Ω ▪。

证明：以定理1.12的句子为例。假设ZF C0Ω ▪。然后对于每个uB集A，存在一个A-闭的c.t.m.m和Mα²ZF C+。与定理1.12的证明中的论点相同，应用于Mα，我们得到了一个矛盾。

假设现在存在S有限，使得S`Ω ▪。然后通过Soundness，S²Ω 这产生了一个矛盾，如定理1.12的证明。

这个Ω-猜想说：如果存在一类合适的Woodin基数，则对于集合论的语言的每个句子，∅²Ω ⏴iff ∅`Ω ▪。

“如果”方向由“健全”给出。所以Ω-猜测只是的完整性Ω-逻辑，即如果∅²Ω ξ，然后为∅`Ω 对于每个ξ∈Sent。

引理3.6。以下内容相当：

i） 对于所有ξ∈Sent，∅²Ω ξ表示∅`Ω ▪。

ii）对于每一个r.e.集TŞ｛ξ｝⊆Sent，T²Ω ξ表示T`Ω ▪。

证明：i）⇒ ii）固定T r.e和ξ，使T²Ω ▪。设ξ*：=“T²Ω “。

引理1.9，∅²Ω ⏴*，因此通过i），∅`Ω ⏴*

因此，存在一个uB集合a使得对于每个A-闭合c.t.m.m|=ZF c，m²“∅²Ω ξ*”。然后使得所有α∈M，MᲓT²Ω “。由于M²ZF C，通过反射，M²“T²Ω “。

这表明A见证了T`Ω ▪。

这个Ω-猜想在强迫下是绝对的：

定理3.7。假设存在一个适当的Woodin基数类。

那么对于每一个c.B.a.B，

V B²Ω-猜想

iff

V²Ω-猜想

证明：根据定理1.8和2.35，对于每个c.B.a.B，∅²Ω 如果且仅当

如果V B²“∅²Ω “和∅`Ω 当且仅当V B²“∅`Ω “。因此，如果V B²Ω-推测，则V²“∅²Ω ξ“iff V B²”∅²Ω “iff V B²”∅`Ω “iff V²“∅`Ω “。反之亦然。

备注3.8。i） 假设L（R）²AD+，并且L（R）中的每一组实数为uB。如果T是r.e.和ZF C²“T²Ω “，然后T`Ω ξ，由∅见证。

ii）假设ZF C++存在一个强不可访问基数

一致的设ξ=“存在一个不可构造的实数”。然后ZF C 6`（（ZF C²Ω ξ）→ （ZF C²）Ω ξ”）。

对于假设V²ZF C++“存在一个不可构造的实”+|=zfc）。然后ZF C²Ω ξ在V中成立。如果γ是序数且Vγ，则VγB²ξ，因为VγB包含V的所有实数。但是，由于ZF C加上强不可访问基数的存在是一致的，在V中存在ZF C++的一个模型“存在一个强不可达基数”+V=L。

该型号满足ZF C6|=Ω φ。

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