逻辑论文 (8-5)

iv）一组句子T是Ω-一致，如果T0Ω ⊥, 其中Γ是任何矛盾，即，如果对于满足定义的1）和2）的所有A⊆R uB

2.29，存在一个c.t.m.a-闭的m²ZF c和α∈m使得Mα²T。

v） T是Ω-如果不是，则不一致Ω-一致的观察到如果AD+在L（R）中成立，并且L（R）中的每一组实数都是uB，然后每ΩT一致句与T一致。

事实3.2。以下内容相当于一组句子T：

i） T是Ω-一致的

ii）T 0Ω 对于一些。

iii）T 0Ω 对于所有的Γ∈T，即对于所有的ξ∈T，Γ为ΩT-一致。

证明：i）⇒ ii）琐碎。

ii）⇒ iii）在不失一般性的情况下，我们可以假设对于某个uB集A、 定义2.29的1）和2）成立。给定这样一个A，根据那里的假设存在一个A-闭的c.t.m.m和α∈måOn使得mα²t+。自从Mα²ψ对于所有ψ∈T，相同的M和α证明T 0Ω ψ

ψ∈T。

iii⇒ i） W.l.o.g.，我们可以假设定义2.29的1）和2）适用于某些情况

uB集合A。此外，我们还可以假设T6=∅。因此，设ξ∈T

假设存在一个A-闭的c.t.m.m和α∈m∈On使得Mα²T+。由于Mα²T+，则相同的M和α见证了T0Ω ⊥.

定理3.3（健全性）。（[12]）假定存在一个适当的类无法访问的基数。对于每一个T∈｛ξ｝∈Sent，T`Ω ξ表示T²Ω ▪。

证明：设A为uB集A见证T`Ω ▪。固定α和B，并假设

设λ＞α是一个强不可及基数，使得a，B，T∈Vλ和Vλ|=“B是c.B.a.”。取X≺Vλ可数，其中a，B，T∈X ，M是X的传递坍缩，并且设B是B的传递坍缩。

由引理2.18M是A-闭的。因此，如果MαB|=T，然后MαB|=ξ。自从Vλ|=“VαB|=T”，通过元素性，M|=“MαB|=T“。因此，M|=“MαB|=“。因此，再次通过元素性，Vλ|=“VαB|=ξ”。因此，VαB|=ξ。

存在一类适当的不可访问基数的假设

在上面的定理中是不必要的。然而，没有这一点的证据，假设不再是基本的，它将使我们超越这篇论文。

因此，如果存在κ使得Vκ²ZF C+ξ，那么ZF C0Ω 。即 ξ为ΩZF C一致性。

全面性的另一个结果是，对于ZF CΩT可证明的句子不能通过V上的强迫而变假。

以下等价性可以在不使用定理3.3的情况下得到证明。

事实3.4。对于每个T⊆Sent，以下是等价的：

i） 对于所有ξ∈Sent，T`Ω ξ表示T²Ω ▪。

ii）T为Ω-可满足蕴涵T是Ω-一致的

证明：i）⇒ ii）假设T不是Ω-一致，即T`Ω ⊥. 通过假设，T²Ω ⊥ 对于所有c.B.a.B和所有α∈On，VαB2 T，因此T不是Ω-令人满意。

ii）⇒ i） 假设T2Ω ▪。设B和α使得VαB²T和VαB。

则TŞ｛Ω-可满足的，因此Ω-一致的如果T`Ω 那么TŞ`Ω ▪。但是`Ω 一个矛盾。

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