逻辑论文 (8-4)

（1） 如果对于相当多的M-一般G⊆P，P∈G意味着iG[τ]∈A，

则对于每个M-泛型G⊆P，P∈G意味着iG[τ]∈A。

（2） 如果对于相当多的M-一般G⊆P，P∈G意味着iG[τ]6∈A，

则对于每个M-一般G⊆P，P∈G意味着iG[τ]6∈A。

A-闭合和A-完备性的结合意味着强A-闭合。

引理2.40。设M是一个c.t.M，a是一个uB集。如果M都是A-闭合的

和A-完全，那么它是强A-闭合的。

证明：固定M和A，并假设M是A-闭合的和A-完备的。

允许σ={（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和p°

五、Pτ∈A

▪G}。

根据命题2.9，σ是一个属于M的P-名称。

我们声称，对于每一个M-泛型G⊆P，iG[σ]=M[G]≠A。

因此，假设G⊆P是M-一般滤波器。如果τ∈M是一个简单的P-名称

对于实和iG[τ]∈a，则对于一些p∈p，对于一组广义滤波器g，如果p∈g，则iG[τ]≠a。通过2.13，p°Vτ∈a

▪G

因此

iG[τ]∈iG[σ]。

现在假设iG[τ]∈iG[σ]。因此，对于某些p∈G，p°Vτ∈A

▪G

通过

2.13，M-一般滤波器g⊆P的集合使得P∈g和ig〔τ〕∈A是comeager。但由于M是A-完全的，对于所有M-泛型g⊆P，使得p∈g，ig[τ]∈A。特别地，ig[τ]≠A。

然而，强A-闭包并不意味着A-完全性。为了看到这一点，

注意，如果x是实数并且a={x}，那么每个c.t.m.m都是强a闭的。但如果x是M上的Cohen泛型，则M不是A-完全的，

如果P是Cohen强迫，并且τ∈MP

是x的名称，则集合D={p∈p:p°τ6=x} 是P的稠密子集（尽管D6∈M！）。所以M上有一组P-一般滤波器，使得集合iG[τ]6=x，即iG[τ]6∈A。但对于某些M-一般G，iG[σ]=x∈A。

类似地，A-完全性并不意味着强A-闭包（它也是也不意味着A-闭合）。举个例子，让M满足ZFC+“0]不存在，”并且设A=0]（即{n|n∈0]}）。那么M显然不是A-闭合的，由于M[G]åA=A对于所有M-一般G⊆P，所有P。但是M是A-完全的。当看到这个，固定P，P和τ，并假设对于相当多的M-一般G，如果p∈G，则iG[τ]∈A。因此，X={n:∃p0≤p（p0°τ=n）}包含在A中，这反过来意味着所有M-泛型的iG[τ]∈A过滤包含P的G⊆P。

3Ω-猜想

定义3.1。

i） 一个句子是ΩT-可满足如果T2Ω ，即存在α和B使得VαB²T+。

ii）一组句子T是Ω-如果存在一个c.B.a.B和一个序数α，其中VαB²T。

iii）句子Ω如果T为0，则T一致Ω ，即，对于所有uB集合A⊆R满足定义2.29的1）和2），存在一个可数传递A-闭集M使得M²ZF C，并且存在使得Mα²T+Γ。

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