逻辑论文 (8-3)

由于存在一个模型N，使得{N∈a，N∈X，N≠Y}∈N和Tγ是N，p[Tγ]V⊂（因为X和Y定义了a上的比例）。以上备注适用于B、W和Z、 M中有一个数Sγ，它在V中投影到一个子集

此外，Tγ和Sγ在所有强迫中投影为补码Coll（ω，γ）对M的推广。

设P是M中的偏序，则P正则嵌入到某个偏序中形式Coll（ω，γ）的阶，γ∈OnåM。修复这样一个γ，我们有M的任何P-一般扩张N，P[Tγ]N=A∈N和P[Sγ]N=B∈N，让关系`Ω− 定义为`Ω （定义2.29），但要求A-闭包而不是A-闭合。即

T`Ω− 如果存在一个uB集a⊆R，使得：

1） L（A，

2） （A，R）中的每个集合都是uB，

3） 对于ZF c的所有强A-闭c.t.m.m和所有α，

如果Mα|=T，则Mα|=ξ。

由于对于任何uB集A和任何c.t.m，m强A-闭包意味着闭（见引理2.11），因此Ω ξ表示T`Ω− ▪。

现在假设T`Ω− 由uB集合a见证。我们希望看到存在一个uB集合B，使得所有B闭模型都是强a闭合的。

定理2.37给出了这一点，假设

普遍的Baire集具有标度性质，如上所述，当存在适当的类——许多伍丁枢机主教时，情况确实如此。即使没有这个假设可以证明这样的B是存在的，尽管有证据证明，但是它超出了本文的范围。这是一张草图。首先注意，M是强A闭c.t.m，当L（A，R）|=“m是强A闭的c.t.m”时，在L（A，R）中，A在集合X⊆R上满足以下谓词P（X）：

α（M是ZFC∧

关于∧Mα|=T→ Mα|=ξ）。

现在我们将Woodin对Martin Steel定理的推广应用于 L（R）[8]中的标度和索洛维基定理（见[3]）AD+，说明如下。

定理2.38。（ZF+DCR）如果AD+保持并且VL（P（R）），则

•点类∑2

1.

具有规模性质，

•每一个真正的∑1-句子都有一个∆～

2.

1.

一组real。

然后我们可以让B是∆～

2.

1.

（在L（A。请注意，通过（2） 上面，B是uB，根据定理2.27，它也是T`−Ω ▪。自从 L（A，R）|=AD+，B及其补码都有∑～

2.

1.以L（A，R）表示。

这些标度是uB（同样，通过上面的（2））。因此，在定理2.37中，我们可以找到C∈L（A，R），使得如果M是C闭合的C.t.M，则M是强 B闭合。因此，C见证了T`Ω ▪。

可以公式化一个性质，它大致捕捉a闭包和强a闭包之间的区别。我们将把这个性质称为A-完备性，尽管这个术语不是标准的。

定义2.39。设A是一组实数。让我们打电话给ZFC的c.t.m.m

A-完全如果对于每个强迫概念P∈M，实τ∈MP的每个名称，

并且每个p∈p:

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