逻辑论文 (8-2)

在其定义中用强A-闭包代替A-闭合。

回想一下一组实数上尺度的定义（参见[9]）：

定义2.36。如果A是一组实数，那么A上的标度就是一个序列

满足以下性质的A的预序的h≤i:i＜ωi

hxi：i＜ωi是a中包含的收敛到实x和f:ω的序列→ ω是这样一个函数

ω）（xf（i）≤i xj∧xj≤i xf（i）），

则x在A中，并且对于所有i＜ω，我们有x≤i xf（i）。

如果Γ是在连续预映象下闭的点类，a∈Γ，且h≤i:i＜ωi是a上的一个标度，则h≤i:i＜ωi称为Γ-标度，如果存在集合X，Y⊂ω×ω×ωΓ（用对应的常数函数），使得

X={（i，X，y）|X≤i y}=（ω×ω。

我们说Γ具有标度性质，如果每个A∈Γ都有一个Γ-标度

如果存在一个适当的Woodin基数类，那么uB集具有标度性质（这一事实是由于Steel；例如，

[6]第3.3节）。

如果h≤i:i＜ωi是实数集a上的一个标度，并且对于每个i∈ω和x∈a

我们设ρi（x）表示x的≤i秩，则数

S={（S，σ）∈ω

＜ω×Ord＜ω|∃x∈A x¼|s|=s∧hρi（x）：i＜|s|i=σ}

投影到A.我们称之为与比例相对应的数。

下面的论点来自[11]。

定理2.37。设A是一个普遍的Baire实数集，并假设

M是ZFC的A闭合c.t.M。设B表示A的补码

h≤iA:i＜ωi是由uB集X和Y见证的a上的uB标度，设h≤iB:i＜ωi是由uB集W和Z见证的B上的uB标度，并且

设M是X×Y×W×Z闭合的。那么M是强A闭合的。

证明：首先注意，对于任何一个有充分基础的模型N，如果｛N∈X，N∈Y A} ∈N，则h≤iAåN:i＜ωi在N中，并且是AåN在N中的一个标度（并且类似地，对于W、Z和B）。此外，如果N是X×Y×A闭的，那么对于N中的每一个偏序P，都有P名χP、υP和αP，使得对于相当多的N一般滤波器g⊂P，X∈N[g]=χg，Y∈N[g]=υg

且A≠N[g]=αg（这一点的证明类似于引理2.11和2.13的证明）。

设γ是M中的序数。由于Coll（ω，γ）是齐次的，并且M是X×Y×A-闭合，对于Coll（ω，γ）中的每一对条件p，q，都存在Coll（ω，γ）中包含的M-一般滤波器gp和gq使得p∈gp，q∈gq，M[gp]＝M[gq]，igp[χColl（ω，γ）]igq[χColl（ω，伽马）]=M[gp]≠X，igp[υColl（ω，γ）]igq[υColl（ω、γ）]=M[gp]≠Y，和igp[αColl（ω，γ）]igq[αColl[ω，γ]=M[gp]åA。

因此，对于每对（a，b）∈ω＜ω×Ord＜ω，中的空条件Coll（ω，γ）决定（a，b）是否在与尺度对应的数中与χColl（ω，γ）和υColl（Ω，γ）相关，因此数Tγ对应

在Coll（ω，γ）的任何M-一般扩展中，这个尺度已经存在于M中。

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