逻辑论文 (8-1)

注：（Ω-逻辑），（2/2）章节！

2.33，我们有Mα|=B∈MCåM。因此：

（1） MCåM|=ξ（CåM，θ）

（2） MCåM|=ξ（B，θ）。

设N∈MCåM是ZF c的一个Ct.M，它既是cåM-闭的又是Bclosed的（见注2.30）。那么，对于任何β，如果Nβ|=ZF c，则

Nβ|=θ∧，θ，这是不可能的。

一个完全对称的论点会在

假设ZF C`Ω θ，从而表明θ是不可判定的

在ZF C inΩ-思维方式中关于证明长度的一个更精细的概念Ω-逻辑由Wadge提供

实数集的层次结构（参见[9]和[16]）。

我们现在将看到Ω 在强迫下也是不变的。在里面

为了证明这一点，我们将使用以下结果（见[6]，第3.4节）。

定理2.34。假设存在一个适当的Woodin基数类，δ是Woodin基数，j:V→ M[G]是嵌入派生的

从P＜δ的强迫。则V[G]中所有实数的泛Baire集是

普遍存在于M。

定理2.35。（[17]）假设存在一个适当的Woodin类大基数。然后对于所有P，

T`Ω ξiff

V P²“T`Ω “

证明：⇒) 让A成为ΩT-证明。

则L（A，R）²M（M是ZF c∧Mα|=T→ Mα²ξ）。

假设G⊆P是V-泛型。根据V〔G〕中的推论2.20，

L（AG，RV[G]）²M（M是ZF c∧Mα|=T→ Mα²ξ）。

由于A是uB，根据备注2.6，AG是V[G]中的uB。因此，AG是ΩT-在V[G]中的Γ的证明。

⇐) 假设V P²“T`Ω “。设γ是一个强不可及基数P∈Vγ。选择一个Woodin基数δ＞γ。考虑a=Pω1（Vγ）∈P＜δ

（见事实1.4）。强迫P<δ低于a使Vγ可数，因此存在

偏序的P-名称τ，使得P＜δ（a）强迫等价于P*τ。

固定G⊆P＜δ（a）V-泛型，设j:V→ M是诱导嵌入。

那么j（δ）=δ和V[G]²M＜δ⊆M。我们有V[G]=V[H0][H1] H0⊆P，V-属。因此，V[H0]²“T`Ω “，由一些uB集合A见证。

根据这个定理的另一个方向，V[G]²“T`Ω “，由AG见证。

因此

V〔G〕²“AG是uB∧N∀α（N是ZF c∧α∈关于∧Nα|=T→ Nα²ξ）“。

根据定理2.34，AG是M中的一个uB集，并且由于M在可计数序列，

M²“N（N是ZF c∧→Nα²ξ）“。因此，M²“T`Ω “。通过应用诱导初等

嵌入，我们有V²“T`Ω “。

2.5.A-闭合与强A-闭合。

回想（定义2.16）对于A⊆R，（A

的片段）ZF C是强A闭的，如果对于所有偏序集P∈M和所有M属G⊆P，M[G]∈A∈M[G]。

我们将看到Ω 如果我们使用

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