逻辑论文 (10-5)

　　让(n，∈)be的传递崩溃，且让G＝π[H].因为π(P)∈普通，G是π(P)-通用结束V和普通是transitive，G是π(P)-通用

　　超过普通.自从Π¹集合对于传递模型是绝对的ZF角和A是

　　∏¹₁.在V[G]，A普通[G]＝普通[G]∩A＝普通[G]∩A∩V[G]＝普通[G]∩Aⱽ[G].和因为Aⱽ[G]＝Aɢ，

　　A普通[G]＝普通[G]∩Aɢ∈普通[G].

　　因为M是一个ω-模型，传递性崩溃π标识是否在因此，

　　Aᴹ[ᴴ]＝M[H]∩Aʜ∈M[H].

　　二）⇒我)假设(M，E)是A-对于每个Π关闭¹₁设置。那就是了-关闭，因为是TΠ因此由引理2.22，是有理有据的。□

　　2.3.广告+.

　　Definition2.24.(cf.[12])AsetA⊆Ris∞-BorelifforsomeS∪{α}⊆On

　　andsomeformulawithtwofreevariablesφ(х，g),

　　A＝{g∈R│Lα[S，g]⊨φ(S，g)}.

　　AssumingAD＋DC,asetofrealsAis∞-BoreliffA∈L(S，R),forsome

　　S⊆Ord(cf.[12]).

　　Definition2.25.Θistheleastordinalowhichisnottherangeofany

　　functionπ：R→α.So.iftherealscanbewellordered,thenΘ＝(2ω)⁺.

　　RecallthatDCʀisthestatement：

　　∀R(R⊆ωω×ωω∧∀х∈ωω∃g∈ωω((х，g)∈R)→

　　∃f∈(ωω)ω∀n∈ω((f(n)，f(n＋1))∈R)).

　　Definition2.26.(cf.[12])(ZF＋DCʀ)AD⁺says：

　　i)Everysetofrealsis∞-Borel.

　　ii)Ifλ＜Θandπ：λω→ωωisacontinuousfunction,whereλhasbeen

　　giventhediscretetopology,thenπ⁻¹(A)isdeterminedforeveryA⊆ωω.

　　AD⁺triviallyimpliesAD,anditisnotknownifADimpliesAD⁺.

　　WoodinhasshownthatifL(R)╞AD.thenL(R)╞AD⁺.

　　AD⁺isabsoluteforinnermodelscontainingallthereals：

　　Theorem2.27.(cf.[12])(AD⁺)ForanytransitiveinnermodelMofZFwithR⊆M，M⊨AD⁺.

　　Theorem2.28.([12])IftherecristsaproperclassofWoodincarlinalsand

　　A⊆RisuBthen：

　　1)L(A，R)╞AD⁺.

　　2)EuergsetinP(R)∩L(A，R)is uB.

16JOANBAGARIA,NEUSCASTELLS,ANDPAULLARSON

　　2.finitionof⊢ΩFoandinvarianceunderforcing.

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