特殊篇章（哥德尔可构造宇宙） (11-4)

假如

⊆ X × Y

一项功能

F : X → Y

是A的选择函数​，如果对所有a ∈ X：

I如果存在b ∈ Y使得(A，b) ∈ A那么(A，F(a)) ∈ A。

选择的公理

对于每一组

⊆ X × Y

a有一个选择函数。

选择公理与投射集

选择的射影公理

假设⊆ Vω+1 × Vω+1是一个射影集。然后是一个

功能

F : Vω+1 → Vω+1

使得：

I F是a的选择函数。

I F是一个射影集。

在20世纪早期，人们曾多次试图解决这两个问题

投射连续统假设的问题和

选择的投影公理问题；

在最简单的情况下获得成功。

然而，到1925年，这些问题看起来都没有希望了。

这两个都是没有希望的问题

G odel和Cohen的实际结构表明

问题在形式上是无法解决的。

我在G odel的宇宙L：

选择的射影公理成立。

I投射连续统假设成立。

我在科恩对L的放大中(实际给出的科恩为ch的失败定义的蓝图)：

选择的射影公理是假的。

投射连续统假设是错误的。

这解释了为什么这些问题如此困难。

但是直觉告诉我这些问题是可以解决的

正确。

意外的纠缠

定理(1984年)

假设红衣主教中有无限多的伍德。然后：

I投射连续统假设成立。

定理(1985年：马丁-斯蒂尔​)

假设红衣主教中有无限多的伍德。然后：

选择的射影公理成立。

我们现在有了Vω+1和射影几何​的正确概念

集合。

这个概念产生了射影集的公理。

I这些(决定性)公理反过来又与

(并由此而来)大基数公理。

但是Vω+2呢？甚至是V本身？

逻辑可定义性

可定义的幂集

每个集合x，PDef(X)表示所有y个⊆ X的集合，使得y

在结构(X，∑)中可由X中的参数逻辑定义。

I PDef(X)是X的子集的集合

X本身固有的，

I对P(X ), P是X的所有子集的集合。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。