特殊篇章（哥德尔可构造宇宙） (11-2)

定理(康托尔)

所有自然数的集合N和所有实数的集合R

不具有相同的基数。

I无穷大真的有不同的“大小”！

连续统假说

假设⊆ R是无穷大。那么要么：

1.a和N有相同的基数，或者

2.a和R有相同的基数。

这是康托的连续统假说。

许多人试图解决连续统的问题假设并失败了。

连续统假说的问题很快就出现了

被广泛认为是所有问题中最重要的问题之一

现代数学。

1940年，G odel证明了它与集合的公理是一致的

连续统假说为真的理论。

没有人能反驳连续统假说。

1963年7月4日，科恩​在伯克利的一次演讲中宣布

这与集合论的公理是一致的

连续统假设是错误的。

没有人能证明连续统假说。

科恩方法

如果M是ZFC的模型，那么M就包含了虚拟世界的“蓝图”

ZFC的模型N，它放大了m。这些蓝图可以从m内部构建和分析。

如果M是可数的，那么在M内构造的每个蓝图可以实现为m的真正放大。

科恩证明了ZFC的每个模型都包含一个蓝图

对于连续统假设是假的。

科恩的方法还表明，ZFC的每一个模型包含了一个扩大的蓝图

连续统假说是真的。

(Levy-Solovay)这些放大保存大基数

公理：

如果大基数公理能有所帮助

我只能以某种意想不到的方式。

科恩方法的范围:它不仅仅是关于CH

一个挑战V概念的时代

科恩的方法在过去的50年里有了很大的发展

从科恩的原著开始。

许多问题已经被证明是无法解决的，包括

集合论之外的问题：

I(群论)白石问题(Shelah)

I(解析)卡普兰斯基猜想(Solovay)

(实直线的组合学​)苏斯林的问题

(索洛维​-坦**姆、延森、耶赫)

I(测度论)Borel猜想(拉沃尔)

I(算子代数)Brown-Douglas-Filmore自同构

问题(菲利普斯-韦弗，法拉)

这是对……概念的严重挑战

数学无限。

I这些例子，包括连续统假说，都是关于Vω+2的陈述。

好吧，也许是时候放弃了

要求

I大基数公理是不可证明的；

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