数学联邦政治世界观
超小超大

特殊篇章(哥德尔可构造宇宙) (11-1)

序数:超限数

  

I ∅是最小序数:这是0。

  

I {∅}是下一个序数:这是1。

  

{∅,{∅}}接下来依次是:这是2。

  

如果α是序数,那么

  

I α是所有序数β的集合,使得β小于α,

  

Iα+1 =α∨{α}是第二大序数。

  

ω表示最小无限序数​,它是所有有限序数的集合。

  

集合的宇宙

  

发电机组 

  

假设X是一个集合。X的幂集​是集合

  

P(X) = {Y Y是X的子集​}。

  

集合的累积层次

  

集合的论域V是通过归纳on定义Vα而生成的序数α:

  

1.V0 = ∅,

  

2.Vα+1 = P(Vα),

  

3.如果α是一个极限序数​,那么Vα =Sβ<α Vβ。

  

如果X是一个集合,那么X ∈ Vα对于某个序数α。

  

I V0 = ∅,V1 = {∅},V2 = {∅,{∅}}.

  

这些只是序数:0,1和2。

 

I V3有4个元素(很明显不是序数)。

  

I V4有16个元素。

  

I V5有65,536个元素。

  

I V1000有很多元素。

  

Vω是无限的,它是所有(遗传的)有限集的集合。

  

Vω的概念在数学上等同于

  

结构的概念(N,+,):

  

一个结构可以在另一个结构中被解释。

  

超越基本公理​:大基数公理​

  

塑造V的概念

  

一、集合论​的ZFC公理正式规定了集合论的创立v的概念原则。

  

ZFC公理自然被附加的公理所扩充

  

断言“非常大的”无限集合存在的公理。

  

这样的公理断言大基数的存在。

  

这些大枢机主教​包括:

 

一.可衡量的基数

  

强壮的红衣主教

  

我是红衣主教

  

我是超强红衣主教

  

我超级紧凑红雀

  

I .可扩展的红衣主教

  

我是大红雀

  

Iω-巨大的红雀

  

基数:测量集合的大小

  

定义:当两个集合的大小相同时

  

两个集合X和Y有相同的基数,如果有一个

  

X元素与Y元素的匹配。

  

形式上:如果有双射,X = Y

  

f : X → Y

  

假设选择公理​是ZFC公理之一:

  

定理(康托尔)

  

对于每个集合X,都有一个序数α,使得X = α。

  

连续统假说:CH

  

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