逻辑论文 (10-5)

　　6琼·巴加利亚、纽斯·卡斯特尔斯和PAUL·拉森

　　F或者每个n∈ω，n＞0，让φₙ是断言的句子：如果α是最大的

　　那么，限制序数α＋n存在.

　　最后，让φ就是那句断言：每个序数都有一个suc塞斯尔.

　　让T＝{φₙ：n∈ω}.

　　然后，T╞Ωφ.但是如果S⊆T那么是无限的S╞/Ωφ. □

　　只要再多做一点工作，我们就可以w紧性⊨Ω？也失败于T＝ZFC.事实上，回想一下Godel的对角化，对于每个公式

　　ψ(х)，与х唯一的自由变量和范围σ超过自然数，有是一个句子φ到这样的程度ZF角⊢（φ↔ψ(⌜φ⌝))，在哪里⌜φ⌝是术语表示σ奥德尔公司deofφ.

　　定理1.12。如果ZFC是一致的，然后有一个句子eφ到这样的程度

　　ZFC⊨Ωφ，但是对所有人来说S⊆ZFC，S⊭Ωφ.

　　赞成的：ψ让（x）是公式：

　　xσ奥德尔公司宣判φх∧∀S(S的有限子集ZF角→S⊭Ωφх)

　　由Codel的对角化，有一句话φ到这样的程度ZF角⊢（φ↔ψ(⌜φ⌝)).

　　让T⊆ZFC定义为T⊢(φ↔ψ(⌜φ⌝)).让θ成为的句子集合的连接词T.然后，∅⊢θ→(φ↔ψ(⌜φ⌝)).

　　索赔。ZFC⊨Ωφ.

　　赞成索赔的：栓剂不会吧。挑选α和B到这样的程度Vᴮ⊨ZFC+¬φ。所以，那儿有S∈Vᴮα、一组有限的句子ZF角到这样的程度Vᴮα⊨“S⊨Ωφ”.

　　因为Vᴮα⊨ZFC，通过反射，让β＜α到这样的程度Vᴮᵦ⊨S＋¬φ，但是自从

　　Vᴮα⊨“S⊨Ωφ”，还有Vᴮᵦ⊨S，我们获得Vᴮᵦ⊨φ，一个矛盾。 □

　　索赔。如果S⊆ZFC那是有限的S⊭Ωφ.

　　赞成索赔的：假设有S⊆ZFC定义为S⊨Ωφ。经过

　　引理1.9，∅⊨Ω“S⊨Ωφ”.让Bb英国广播公司..因为ZFC⊢θ＋S和Vᴮ⊨ZFC，通过反射，让α如此Vᴮα⊨θ＋S.因为∅⊨Ω“S⊨Ωφ”，Vᴮα⊨“S⊨Ωφ”，即，Vᴮα⊨(∃S)(S有限和S⊨Ωφ).因此Vᴮα⊨¬ψ(⌜φ⌝).

　　但是自从Vᴮα⊨θ，Vᴮα⊨¬φ，与假设相矛盾S⊨Ωφ. □

　　2.⊢Ω

　　为了定义ω-prov能力关系.⊢Ω（定义2.29）与相关联的句法关系⊨Ω，也是W.H.W介绍的乌丁，我们需要回忆一些在定义中起重要作用的概念。

　　一路上e还将证明一些关于这些概念的有用事实。

　　2.1.普遍的贝尔实数集。

　　实数的泛贝尔集在ω逻辑中起着ω证明的作用。

　　回想一下，对于序数λ，一个特雷e在ω×λ是一套⊆ω＜ω×λ＜ω使得对于所有对(s，t)∈T.左手(s)＝左手(t)和(s ⨡ 我，t ⨡我)∈T对于每个我∈左手(s)∈ω.给一棵树ω×λ.p[T]＝{х∈ωω│∃f∈λω(х，f)∈[T]是这项目动作关于T，其中[T]＝{(х，f)∈ωω×λω│∀n∈ω(x ⨡ n，f ⨡ n)∈T}.

　　定义2.1。([2])

　　我）为了一个giv红衣主教κ，一组实数A是κ-通用lgBaire(κ-uB)

　　如果有树存在T和S在ω＜ω×λ＜ω，λ一些序数，如

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