超宇宙计划（第二版本）篇章 (7-5)

如前所述，在超宇宙计划中V中非常大的基数（在可测量值之上）不仅应该是与ZFC模型的最大化期望兼容，它是也被视为与事实上的集合论真理相兼容。如下所示从对大基数假设在当代集合论中所起作用的谨慎审视，得出这样的观点基数在集合论中以多种方式出现，它们的重要性由此而来从它们在内部模型中的存在。事实上，当证明ZFC的大基数扩展的一致性强度落入良序时层次一只需要考虑内部模型中的大基数存在性。

这也是一致性上限和下限结果的情况大基数在集合论中的重要用途。对于上界结果一从包含大基数的ZFC的模型M开始，然后通过强迫产生了一个外部模型M[G]，其中有一些重要的陈述持有。请注意，在生成的模型中，大型基数可能不存在；

它们只存在于一个内部模型中，即原始的M。当然，我们不必假设初始M是全宇宙V，这就足够了，它可以是任何具有大基数的内部模型。在下界结果中从满足兴趣陈述的模型M开始，然后构造具有大型基数的内部模型；这是多德-詹森核心模型程序；参见[12]。正如斯蒂尔所指出的，“我们无法进行比较PFA的一致性强度和的完全扩展的存在性Lebesgue测度除了将每个都与大基数层次相关之外”（[20]，脚注22，第427页）。通过援引这一事实，他补充道：“庞大的基本等级制度至关重要”。然而，在再次证明一致性结果时这使得大基数成为“必要的”，人们只假设它们存在于内部模型17类似的论点适用于内部模型程序，其目的是证明如果V中存在大基数，那么它们也存在表现良好的内部模型；这相当于显示的程序。如果大基数存在于内部模型中，那么它们也存在于偶数中更小、性能良好的内部模型。

对上述的一个可能的反对意见是在V中使用大基数，而不是在内部模型中证明确定性公理的形式，诸如PD、实数的所有投影集的确定性。有两个断言PD是“真实的”的常见理由。一个原因是基于关于外推法​：

由于Borei和分析集表现良好（在感觉他们是勒贝格​可衡量的，有拜尔和完美的集合性质），并且PD将其扩展到所有投影集，则PD必须是“真”的。

但这一论点有明确的反驳。例如，考虑LévyShoenfield绝对性，XÍ的绝对性，关于的陈述任意外部模型。这在ZFC中是可证明的，即使允许任意真实参数。外推法自然会导致S？绝对性任意实参数。但即使是具有任意实数的S3绝对性参数是可证明错误的。具有任意实参数的一致性原理只能通过人为地取“外模”来表示“设置通用外部模型”。一旦将其放宽到类泛型外部模型，原理变得不一致。

因此，如果从Xi推断时很容易导致不一致，则为3英镑绝对性，如何证明从2}可测量性到投影可测性？更合理的是没有参数的外推。事实上，与版本不同，无参数的S3绝对性具有任意实参数，与一致（实际上是从）IMH。因此，关于投射陈述的一个自然结论是以下内容：一致性原则，它断言属性对无参数投影集成立对任意投影​集也成立是错误的。因此射影集的正则性​是一个合理的外推从Borei的正则性和分析集，只要不允许参数。事实上，无参数PD（或者甚至没有实参数的有序可定义确定性）和具有非常大基数与IMH一致（很可能与综合猜想），但是具有参数的PD和内部的存在具有包含任意给定实数的非常大基数的模型不是。

断言PD“真相”的第二个原因是它“解决了所有自然问题”关于HC（可遗传可数集​的集合）的问题”。这个断言基于这样一个事实，即假设基数很大，则不能更改集强迫HC的一阶理论，这个理论在某种意义上是。但这忽略了HC的理论可以改变的事实，即使在最小可能的水平（S3），如果允许其他放大方式的话宇宙，甚至是保存非常大基数存在的方式。

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