补丁（1）简介论文 (9-8)

像牛顿需要发明微积分来描写他的力学理论所描写的曲线运动。为了描写电磁现象，我们需要用到数学中的纤维丛理论，而为了描写引力现象，我们需要黎曼几何理论。当我们发现微观世界的量子现象后，我们意识到描写我们世界的数学理论并不是微积分、纤维丛和黎曼几何，而是带张量乘法的线性代数。

在凝聚态物理和材料科学中，我们需要理解和描写千千万万、各种各样的物质态。朗道以他深刻的洞察指出，各种各样的物质态其实来源于它们内部各种各样不同的对称性破缺。于是，描写对称性的群论就成为我们描写各种各样物质态的数学语言。

可是过去30年来凝聚态物理的进展揭示了一大类全新物质态的存在。这一类物质态不是起源于对称性，而是起源于材料中的多体量子纠缠。多体量子纠缠（也就是拓扑序）是一种全新的自然现象。我们到底应该用什么样的数学语言才能描写这种全新的自然现象呢？

为了理解和描述多体量子纠缠的内部结构，也就是拓扑序，我们可以考虑这一结构所允许的各种各样的点缺陷，并通过这些缺陷的性质来理解和描述这一结构。但一个拓扑序可以有无穷多个不同的缺陷。为了解决这个无穷大问题，我们可以重新定义什么叫做“相等”：当两个缺陷可以通过局部形变而相互转换时，我们称它们是等价的，或者是“相等”的。我们发现拓扑序中的缺陷只有有限多个等价类。这些不同类型缺陷的等价关系可以是非常复杂的，因为它们包括缺陷之间的融合、编织等等局部操作。描写这些缺陷等价的类的数学理论正是本文所描述的范畴论。范畴论这一极端抽象的数学就这样走进了凝聚态物理。

其实拓扑序中的缺陷不仅可以是点状的，还可以是线状的、面状的等等。描写这些更复杂缺陷的等价类的数学语言就是本文所介绍的高阶范畴学，或无穷范畴学。这些抽象数学理论是描写多体量子纠缠这一全新物理现象的自然语言。新的数学进入物理意味着物理的新革命。现在正是数学和物理高速发展的黄金时期。

撰文 | 孔良（深圳量子科学与工程研究院，南方科技大学）

毫无疑问 Jacob Lurie 的工作值得单独撰文来讨论，但是借这篇文章的东风，加一些简洁的评论也可能是有益的。

Jacob Lurie的两部长篇巨著 Higher Topos Theory 和 Higher Algebra 是近过去20年数学里面最激动人心的进展之一。我们知道微积分和线性代数是现代物理和其他科学的基础语言。粗略地讲，Higher Topos Theory 可以看作是一种新的微积分，而Higher Algebra 是一种新的线性代数。它们不仅在一个很高的视角上统一了过去的很多数学，而且还提供了一张宏伟的数学新蓝图。而过去已知的数学似乎只是这张新蓝图的一角，可以毫不夸张地说，数学才刚刚开始。

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