补丁（1）简介论文 (9-7)

卢里在拟范畴（quasi-categories）模型中发展了无穷范畴。其他数学家以前曾经在不同的模型中发展了无穷范畴。尽管这些尝试远没有卢里那么全面，但在某些情况下，它们更容易处理。“雅各布选择了一个模型，并检查了在这个模型中是否一切都成立，但这往往不是最容易的模型，”扎哈里维奇说。

在几何学中，数学家们精确地知道如何在坐标系之间切换。他们还证明了如果定理在一个坐标系中被证明，则它在另一个坐标系中也成立。

对于无穷范畴，没有这样的保证。然而，当数学家们使用无穷范畴撰写论文时，他们往往轻率地在模型之间切换，假设（但不证明）他们的结果可以保持成立。海恩说：“人们不会详细说明他们在做什么，他们会在这些不同的模型之间切换，然后说，‘哦，都是一样的’。但这不是证明。”

在过去六年里，两位数学家一直在努力做出这样的保证。里尔和来自澳大利亚麦觉理大学（Macquarie University）的多米尼克·维里蒂（Dominic Verity）一直在研究一种描述无穷范畴的方法，这种方法超越了以前限定于模型的框架所造成的困难。他们的工作建立在巴维克等人之前的工作的基础上，已经证明了高阶范畴论中的许多定理都是成立的，无论你将它们应用于哪个模型中。他们用一种恰当的方式证明了这种兼容性，里尔解释说：“我们正在研究的无穷范畴，其对象本身就是无穷范畴。范畴论在这里就像在吞食自己。”

约翰·霍普金斯大学数学家艾米丽·里尔（Emily Riehl）正在帮助引导高阶范畴理论的发展。

里尔和维里蒂还希望以另一种方式推动无穷范畴论的发展。他们阐明了无穷范畴论无论在哪个模型中都成立的那些特性。这种“与模型无关”的表示具有即插即用的特性，他们希望，这种特性能够让那些最初只能通过《高阶范畴论》进入这个领域因而离开的数学家能回到这个领域。

“要进入这个世界，你必须穿过一条护城河，而他们正在放下吊桥。”霍普金斯说道。

里尔和维里蒂希望能在明年完成他们的工作。与此同时，卢里最近开始了一个名为岩豚鼠（Kerodon）的项目，他打算把这个项目作为维基百科式的高阶范畴论教科书。在《高阶范畴论》使等价的数学形式化13年之后，这些倡议是提炼和推广这个思想的新尝试——使等价的数学更加普及。

乔亚尔说：“天才在数学发展中扮演了重要的角色，但实际上知识本身是学术界活动的结果。知识的真正目的是成为社区的知识，而不是一两个人的知识。”

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后 记

数学和物理融合的黄金时代

撰文 | 文小刚 （麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）

物理学的目的是准确地理解和描述各种各样的自然现象。但我们的物理世界是如此丰富多彩，使我们无法用日常生活所发展出来的语言来准确描写这些自然现象。特别是当我们发现一类全新的自然现象时，物理学家常常发现他们需要引入新数学、发明新语言来描写这些自然现象。

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