补丁（1）简介论文 (9-4)

最终，你将建立一个等价关系的无穷塔。如果通盘考虑整个塔，你就可以对你所选择的用球面上的点表示的任何对象形成全面的认识。

德州大学奥斯汀分校的大卫·本-兹维（David Ben-Zvi）说：“它只是一个球，但事实证明，要理解球的形状，从某种意义上说，你需要到无穷远处去。”

在20世纪的最后几十年里，许多数学家致力于一个“无穷范畴”理论——这个理论可以研究等价关系的无穷塔。有几个人取得了实质性进展。但只有一个人成功了。

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2 重写数学

雅各布·卢里关于无穷范畴理论的第一篇论文并不成功。2003年6月5日，这位25岁的年轻人在科学预印本网站 上发布了一份60页的论文，题为《论无穷范畴》（On Infinity Topoi）。在文中他开始勾勒一些规则，数学家们可以用这些规则研究无穷范畴。

第一篇论文没有得到普遍好评。读完文章后不久，芝加哥大学数学家彼得·梅（Peter May）给卢里的导师迈克尔·霍普金斯发了封电子邮件，说卢里的论文有一些有趣的想法，但感觉很不完善，需要更严格。梅说：“我向迈克尔表达了我们的保留意见，迈克尔转达给了雅各布。”

不清楚卢里是否曾把梅的邮件视为一种挑战，或者他早就计划好了下一步的行动。（卢里多次拒绝了就此事接受采访的请求。）我们只知道，在受到批评后，卢里进入了一个旺盛的多产期，这段时期已经成为传奇。

梅说：“我无法进入雅各布的脑子里，我不能确切地说出他当时在想什么。但毫无疑问，我们批评的文稿与最终版本之间存在巨大差异，后者完全是在更高的数学层面上。”

2006年，卢里在 上 发布了《高阶范畴论》的书稿。在这项里程碑式的成就中，他用一种新的数学基础，基于无穷范畴的基础，建立了取代集合论的机制。伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学家查尔斯·瑞泽克（Charles Rezk）做了关于无穷范畴论重要的早期工作，他说：“他用上千页篇幅创造了我们现在都在使用的基础机制。我想我用一辈子都写不出《高阶范畴论》，他用两三年就完成了。”

然后在2011年，卢里又写了一本篇幅更长的专著。在书中，他重新发明了代数。

代数为处理方程式提供了一套优雅的形式规则。数学家们一直使用这些规则来证明新定理。但是代数是在固定不动的等号平衡木上表演体操。如果你去掉这些平衡木，用更精巧的等价概念来代替它们，有些操作就会变得困难得多。

以小学教授的第一条代数规则结合律为例：3个或3个以上数字的和或乘积并不取决于这些数字是如何分组的，比如 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4。

如果用相等概念，要证明结合律对任何包含3个或3个以上数字的列表都适用是很容易的。但如果使用强等价概念，就会很复杂。如果使用更精巧的等价概念时，即使是像结合律这样的简单规则也会变得非常棘手。

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