补丁（1）简介论文 (9-3)

从同伦论的角度来看，圆盘和空间中的单点是等价的——你可以把圆盘压缩到单点。然而，将圆盘上的点与单点配对是不可能的。毕竟，圆盘上有无数个点，而单点只是一个点。

点和圆盘。空间中的圆盘和单点是同伦等价的——不用撕裂就可以将圆盘变换成点。

自20世纪中期以来，数学家们一直试图发展一种替代集合论的理论，在这种理论中，从等价性的角度来研究数学更为自然。1945年，数学家塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane）引入了一个新的基本对象，这个对象内嵌了等价性。他们称之为范畴。

范畴中可以放入任何东西。你可以有哺乳动物范畴，其中包含世界上所有的有毛发的温血哺乳动物。你也可以构造数学对象范畴：集合、几何空间或者数系。

范畴是有额外元数据的集合，这些额外元数据描述两个对象相互关联的所有方式，包括描述两个对象等价的所有方式。你还可以将范畴视为几何对象，其中每个元素都由一个点表示。

例如，想象一个球面。球面上每个点代表一个不同的三角形。这些点之间的路径表示这些对象之间的等价关系。从范畴论的角度来看，我们不关心描述对象的具体方式，而是关心对象在同类型对象中所处的位置。

三角形的球面。球面上每个点对应一个不同形状的三角形。| 图片来源：Quanta Magazine

扎哈里维奇说：“有很多我们认为是事物的，实际上是事物之间的关系。‘我的丈夫’这个词，我们把它当作一个对象，但你也可以把它当作我的一种关系。他的某部分是由他和我的关系定义的。”

艾伦伯格和麦克莱恩版本的范畴很适合用于研究强等价形式。但是在20世纪下半叶，数学家们开始越来越多地使用同伦等较弱的等价概念来研究数学。约翰·霍普金斯大学数学家艾米丽·里尔（Emily Riehl）说：“随着数学变得越来越精巧，我们不可避免地会朝这些更精巧的等同概念发展。”在这些更精巧的等价概念中，关于两个对象如何相互关联的信息量急剧增加。艾伦伯格和麦克莱恩的初等范畴无法处理这些。

要了解信息量是如何增加的，先回到表示了许多三角形的球面。如果你可以将一个三角形拉伸或变形成另一个三角形，则两个三角形是同伦等价的。如果有一条路径连接曲面上两点，则两点是同伦等价的。通过研究曲面上点之间的同伦路径，你实际上是在研究这些点所代表的三角形之间的各种关联方式。

点等价。如果两点之间至少有一条路径相连，则两点同伦等价。

但仅仅说两点是由许多等同的路径连接到一起还不够。你还需要考虑所有这些路径之间的等价性。因此，除了要问两点是否等价之外，你还要问，在同一对点上开始和结束的两条路径是否等价——是否有一条路径关联这两条路径。两条路径之间的这条路径的形状为一个盘，盘的边界就是这两条路径。

路径等价。如果至少有一个盘连接两条路径，则两条路径同伦等价。

你可以继续推进。如果两个盘之间有一条路径，那么这两个盘就是等价的，而这条路径的形状将是三维对象。这些三维对象又可能通过四维路径相互关联（两个对象之间的路径总是比对象本身多一个维度）。

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