特殊篇章（传递模型宇宙公理） (5-4)

一；一个ω-型号关于ZFC是· · ·的模型ZFC谁的 自然数的集合与实际的自然数是同构的 数字。换句话说，一个ω-模型是没有 非标准自然数，尽管它可能

有非标准序数。(更一般地，对于任何序数α，安α-模型有 至少有根据的部分α 。)的每个传递模型ZFC是一个ω-模型，但后一个概念是严格的 更弱。

一致性层次结构

的存在ω-的型号ZFC并且暗示Con(ZFC)当然，还有Con(ZFC＋Con(ZFC))和 迭代一致性层次结构的很大一部分。这简直是 因为如果M╞ ZFC并且具有标准的自然数，然后M同意Con(ZFC)持有，因为它有相同的 就像我们在环境背景下做的那样。因此，我们认为M满足ZFC+Con(ZFC)因此我们相信

Con(ZFC+Con(ZFC))。它再次得出结论M同意这一点 一致性断言，所以我们现在相信

Con³(ZFC)。模型M因此同意，所以我们 认为

Con⁴(ZFC)以此类推，只要 我们能够以这样的方式描述顺序迭代M正确地解释它们。

的每个有限片段ZFC允许许多传递 模型，作为反射定理.

传递模型和强制

集合论的可数传递模型在历史上被用作 形式化的便捷方式强制（force的现在分词形式）。这样的模型M使强迫理论变得方便，因为一个人可以 很容易证明对于每一个偏序Ρ在M，有一；一个M-通用过滤器 G ⊂ Ρ，只需枚举的密集子集Ρ在M以可数的顺序〈 Dₙ│n＜ω 〉，并构建一个降序序列р₀ ≥ р₁ ≥ р₂ ≥ · · ·，与рₙ ∈ Dₙ 。该过滤器G由序列生成的是M -普通的。

出于一致性证明的目的，这种形式化的方式 效果很好。

展示Con(ZFC) → Con(ZFC＋φ)，修复

一个有限的片段ZFC并且与适当的可数传递模型一起工作 大碎片，产生φ中包含所需的片段 迫使它延伸。

传递模型宇宙公理

这传递模型宇宙公理断言每个集合都是 的传递模型的元素ZFC。这个公理使一个 比更强的声明费夫曼 理论，因为它被断言为单个一阶索赔，但弱于宇宙公理，声称宇宙有这样的形式Vκ为 难以接近的红衣主教κ.

传递模型宇审公理有时在 非的背景理论ZFC，而是的ZFC山口，省略了幂集公理，以及断言 每个集合都是可数的。这样的企业相当于采用 后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是 作为背景元理论来研究多元宇宙透视，调查各种实际的集合论 宇宙，完整的传递模型ZFC，涉及一个另一个。

每个型号的ZFC包含的模型ZFC作为一个

元素

每个型号M关于ZFC有一个元素N，它认为 集合论语言中的一阶结构 的模型ZFC从外部看M。这一点在 的情况下M是一个ω-型号关于ZFC，因为在这种情况下M同意ZFC是 一致，因此可以建立一个亨金模型ZFC。在 · · · 里 剩下的一个案例，M有非标准的自然数。由反射定理应用于M，我们知道Σₙ的片段ZFC在模型中是正确的VᵦᴹM，对于每一个标准的自然 数字n。因为M无法确定其标准切割，因此 肯定有一些不标准n为了什么M有些人认为Vᵦᴹ满足（非标准）Σₙ的片段ZFC。因为n是非标准的，这包括完整的标准 的理论ZFC，根据需要。

前一段提到的事实有时会被一些刚开始的集合论者发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与可以有模型的事实相矛盾。　

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