特殊篇章（传递模型宇宙公理） (5-3)

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替换的应用

替换公理证明了每个良序集都是 同构于(唯一的)序数。

证明。这足以表明，每一个世界贸易组织〈L，＜˪〉每一l ∈L，L＜ₗ ={m∈L：m＜˪ ᴵ}≅（唯一的）序数f(l)。固定l∈L，l最不反例。然后f定义于L＜ₗ并且由 替换，ran（f ⨡ Li）是一组序数

A。根据序数和顺序的基本事实，很容易看出A是一个序数α。如果l是的继任者L工然后

L＜ₗ ≅ α+1。如果是一个限制L，那么

L＜ₗ ≅ α.□

∀x∃α(x ∈ Vα).

对于所有序数α，ℵα存在（即对于每个α至少有

α +1——很多无限红雀）。

此外，替换公理也证明了分离，进而是空集公理。

此外，沿用幂集公理证明了配对公理。

历史

有待扩大。

ZFC的一致性

断言Con(ZFC)这个理论断言ZFC是一致的。这是一个复杂的断言Π⁰₁在算术中，因为它断言每个自然的 数不是矛盾证明的哥德尔码ZFC。因为哥德尔完备性定理，断言 相当于断言该理论ZFC有一个模型〈M，∈〉。一个这样的模型是亨金模型，内置于任何完全一致的Henkin的语法过程中 理论延伸ZFC。一般来说，人们不能假定∈是实际的集合成员关系，因为这将使 型号a的传递模型ZFC，它的存在是一个比Con(ZFC).

哥德尔不完全性定理意味着如果ZFC是 一致，那就不能证明Con(ZFC)，所以 这个公理的加法严格强于ZFC一个人。

该表达式Con²(ZFC）表示断言Con(ZFC+Con(ZFC))，并迭代这个更一般地说，人们可以考虑这样的断言Con α(ZFC)每当α本身就是 可表达的。

传递模型

ZFC的传递模型是传递集M，使得结构〈M，∈〉满足集合论的所有ZFC公理。这样一个模型的存在严格强于Con（ZFC），强于迭代一致性层次，但弱于世俗基数的存在，即Vκ是ZFC模型的基数 κ，其中Vk是ZFC的模型，因此也弱于不可访问基数的存在。不是所有ZFC的传递模型都具有Vκ形式，因为如果存在ZFC的任何传递模型，那么通过Lowenheim-Skolem定理和Mostowski坍缩引理，存在这样的可数模型，并且这些模型从不具有形式Vκ。　

然而，ZFC的每个传递模型M都提供了一个集合论论坛，人们可以在其中观察几乎所有的经典数学。在这个意义上，这样的模型是普通集合论结构无法访问或无法访问的。因此，ZFC的传递模型的存在性可以被视为一个大的基本公理：它表达了一个大性的概念，并且这样的模型的存在在ZFC中是不可证明的，并且具有严格超过ZFC的一致性强度。

ZFC的最小传递模型

如果有任何传递模型M关于ZFC，那么Lᴹ，的计算出的可构造宇宙M也是的传递模型ZFC事实上，它有这样的形式Lη ，在哪里η=ht(M)是的高度M。这最小传递的 的模型ZFC是模型Lη，在

哪里η是 最小的，这是一个模型ZFC。这个论点只是 给定表明，最小传递模型是所有其他模型的子集的传递模型ZFC.

它的高度小于最小的稳定的序数虽然稳定序数的存在在ZFC和 传递模型的存在是 不是。（马多尔，2017年)

ω-模型ZFC

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