特殊篇章（传递模型宇宙公理） (5-2)

这样一个z具有唯一的外延性，表示为 {х，g}.

联盟

对于任何设置х还有一组g他们的成员都是 成员中的成员х。也就是所有成员的联盟 存在一个集合。这被正式表达为

∀х∃g∀z( z ∈ g ↔ ∃ω(ω ∈ х ∧ z ∈ω)).

这样一个g是唯一的外延，写为g＝∪х.

基础(或规律性)

每个非空集合х有一个与分离的成员х，确保没有集合可以直接或间接地包含自身。这是表达 形式上作为

∀х ≠ ∅∃g∈x ¬∃z(z ∈ х ∧ z ∈ g).

相当于，由选择公理没有无限递减序列

· · · ∈ х₂ ∈ х₁ ∈ х₀.

分离图式

对于任何设置a和任何谓词Ρ(х)用ZFC语写的，布景{ х ∈ α：Ρ（х）}存在。更详细地说，给定任何

公式φ带有自由变量х₁，х₂，...，хₙ以下是一个公理：

∀α∀х₁∀х₂ . . .∀хₙ∃g∀z（z∈ g ↔（z ∈ α ∧ φ（х₁，х₂，. . .，хₙ，z）)

这样一个g，因外延性而独特，并被写成(对于固定集合α，х₁ . . .，хₙ)

g={z ∈ α：φ(х₁，х₂，. . .，хₙ，z）}.

到目前为止，我们还不能证明无限集合的存在。也就是（Vω，∈）是前五个公理和 无数分离的例子。的每个成员Vω是 事实上是有限的Vω是遗传有限的集合 集合。这基本上是的标准模型N.

无穷

有一个无限集合。这被正式表达为

∃х(∅ ∈ х ∧ ∀z(z ∈ х → z ∪ {z} ∈ х).

此时，我们可以定义ω，＋，和·在ω，得出···的基本事实ω和数学原理 感应开启ω（即，我们可以证明皮亚诺公理是 真实的〈ω，+，·〉).但是我们还不能证明不可数集合的存在性。

Powerset

对于任何设置х还有一组g成员都是 的子集х没有其他元素。g是powerset关于х。这 被正式表达为

∀х∃g∀z(z ∈ g ↔∀ω（ω ∈ z → ω ∈ х）)

[独一无二的这样g被写成g=P(х).]

定义有序对（α，b）存在；成为{{α}，{α，b}}。A关系是有序对的集合，函数是关系f到这样的程度(α，b)∈ f和(α，c)∈ f暗指b=c.

选择

主要文章：选择公理。

这个公理有许多表述。这是历史上最多的有争议的公理ZFC.

∀х[∀g(g ∈ х → g ≠ ∅)→∃f(dom f ＝х ∧ ∀α ∈ х(f(α)∈ α）)]

由上述公理产生的理论被明确地闸述为 策梅洛（1908年）。大多数经典数学都可以在这里进行 理论，但令人惊讶的是，没有序数大于（ω · 2）可以被证明存在于这个理论(至少策梅洛，谁 简直忽略了Fraenkel等人发现的下一个公理）。

替换模式

如果α是一个集合和所有х ∈ α有一种独特的y到这

样的程度（х，g）满足给定的属性，则此类gs是 一套。更详细地说，给出一个公式

φ（х₁，. . .，хₙ，х，g）以下是替换模式的一个实例：

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