补丁版第（5）章格罗滕迪克 (7-5)

＝p─. (5b)

2

　　特别地，这说明有

|X (𝔽ₚ)|＝1＋ p ― Σ²ᵍ ᵢ₌₁ αᵢ.

故

||X(𝔽ₚ)|― p ―1|＝| Σ²ᵍ ᵢ₌₁ αᵢ| ≤

　 1

2gp ─ .

2

　　Weil 关于这些结论的证明本质上用到曲线的 Jacobi 簇.对于 ℂ 上亏格 g 的曲线X，X (ℂ)即为亏格 g 的 Riemann 曲面，故 X (ℂ)上的全纯微分构成一个 g 维复向量空间 Ω¹(X)，并且同调群 H₁(X(ℂ)，ℤ) 是秩 2g 的自由ℤ―模. H₁(X(ℂ)，ℤ)的一个元素 γ 定义了 Ω¹ (X) 的对偶向量空间 Ω¹ (X)ᵛ 中的一个元素ω ↦ ∫ ᵧ ω.从 Abel 和 Jacobi 的时代就已经知道此映射将 H₁ (X(ℂ)，ℤ)实现为 Ω¹(X)ᵛ 中的一个格 ∧ ，故商J(X)＝Ω¹(X)ᵛ/∧是复环面 ― 选择 Ω¹ (X) 的一个基即可定义一个同构J(X) ≈ ℂᵍ/∧.J(X)的自同态是 Ω¹ (X)ᵛ 的将 ∧ 映为自身的线性自同态，由此知End (J(X))是有限生成 ℤ― 模.所以End (J(X))ℚ是一个有限秩的 ℚ 代数.X 的任何极化(polarization)定义 End (J(X))ℚ 的一个对合 (involntion)α↦α†，由于对任意非零 α 迹Tr(αα†)＞0.故其为正定.

复环面 J (X)是一个代数簇.40年代，在Weil研究这些问题的时候，尚不知如何定义不同于 ℂ 的域上的曲线的 Jacobi 簇.事实上，那个年代的代数几何基础尚不适合于这项工作，因此，为了使他对(5a，5b)证明能基于坚实的基础，他不得不首先重写代数几何的基础，然后在任意域上发展 Jacobi 簇的理论.

对于 𝔽ₚ 上的任意簇 X ，存在一个正则映射 π：X → X (称为Frobenius 映射)，其在点上的作用为 (α₀：. . . ：αₙ)一(αᵖ₀：. . .：αᵖₙ)，并且具有性质：πᵐ 在X(𝔽)上作用的不动点恰为 X (𝔽ₚᵐ) 中的元素. Weil证明了不动点公式，这使他得以证明，对于 𝔽ₚ 上的曲线 X，Z(X，t)＝P₁(t)/(1― t)(1― pt)，其中 P₁(t)等于 π 在 J (X) 上作用的特征多项式，并且他知道此多项式具有整系数.极化的选择定义了 End (J(X))ℚ 上的一个对合，Weil证明其为正定. 由此他能够推出不等式

1

|αᵢ|＜p─ .

2

　Weil 猜想的陈述

10

　Weil 关于曲线和其他簇的结果启发了下述猜想：对于 𝔽ₚ 上的 n 维非奇异射影簇X，有

P₁(t) · · · P₂ₙ₋₁(t)

Z(X，t)＝───────────，

P ᵢ(t) ∈ ℤ[t]， ↑ 6(a)

↑

(1 ― t)P₂(t) · · · P₂ₙ₋₂(t)(1― Pⁿ t)

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