补丁版第（5）章格罗滕迪克 (7-4)

的负号，则 Tr(u|h(X)) 就变成了 X 的 Betti 数的和而不是交错和，这样 Mₙᵤₘ (k) 就成为一个 Tannaka 范畴 (若 k 特征为零则其为中性，但其他情形不然).因此，当 k 是有限域的代数扩张时，Mₙᵤₘ (k) 是非中性的 Tannaka 范畴(但是，由于猜想 D 尚未被证实，所以我们不知道标准的上同调是否可通过其进行分解）.

7重温 Weil 猜想

Zeta 函数

设 X 是 𝔽ᴘ 上的非奇异射影簇，固定𝔽ᴘ的一个代数闭包 𝔽 .对每个 m，𝔽 有唯一的 pᵐ 元子域𝔽ₚᵐ. 记 X (𝔽ₚᵐ) 为 X 上坐标在𝔽ₚᵐ中的点的集合，此为有限集合，X 的 Zeta 函数 Z(X，t)定义为

tᵐ

log Z(X，t)＝Σₘ≥₁ |X (𝔽ₚᵐ) |──.

　　 m

＿＿＿＿＿＿　

¹⁴更确切地说，一个仿射群是域上的一个仿射群概型(未必是有限型的).每个这样的群都是那些能够实现为某 GLₙ 的子群的仿射代数群概型的逆极限. ― 原注

9　

例如，设 X＝ℙ⁰＝ 单点 .则对任意的 m 有 |X(𝔽ₚᵐ）|=1，故

tᵐ 1

log Z(X，t)＝Σₘ≥₁ ― ＝log ─── ；

m 1― t

因此

　　 1

　　 Z（X，t）＝ ── .

　　 1― t

作为第二个例子，设X＝ℙ¹.则 | X(𝔽ₚᵐ)|＝1＋pᵐ，故

tᵐ 1

log Z(X，t)＝Σ (1+pᵐ) ─ ＝log ───； m (1―t)(1―pt)

因此

1

　　Z(X，t)＝────

(1― t)(1― pt)

Weil 的奠基性的工作

40年代，Weil证明对于 𝔽ₚ 上亏格 g 的曲线 X，有：

p₁ (t)

　Z(X，1)＝──── p₁(t) ∈ ℤ [t]，(5a)

　　 (1―t)(1― pt)’

p₁(t)＝(1― α₁t)· · ·(1― α₂g t）其中|αᵢ|

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