补丁版第（5）章格罗滕迪克 (7-6)

Pᵢ(t)＝(1― αᵢ₁ t) · · · (1―αᵢbᵢ t) 这里|αᵢj|＝pⁱ/²； (6b)

进而，如果 X 来自于 ℚ 上的簇 X 的模 p约化，则 bᵢ (Pᵢ 的次数)应是复流形 X (ℂ)的Betti 数.

标准猜想(standard conjecture)和Weil 猜想

在 Grothendieck 定义他的 Étale 上同调群的时侯，他和合作者们证明了一个不动点定理，这使他们得以证明 Z(X，t)可表为形式(6a)，其中 Pᵢ 等于 Frobenius 映射 π 在 Hⁱₑₜ (X，ℚℓ)上作用的特征多项式.然而，尚不能断定多项式 Pᵢ 的系数在ℤ 中，而只能断定在 ℚℓ 中，并且不能排除其或许会依赖于 ℓ.

1968年，Grothendieck 提出了两个猜想，分别被称为 Lefschetz 标准猜想和Hodge 标准猜想，如果这些猜想能得以证实，则人们就可以通过用簇的母题理论替代曲线的 Jacobi 来将 Weil 关于曲线情形的Weil猜想的证明扩展到任意维的代数簇的情形.

　　上述的猜想 C 是 Lefschetz 标准猜想的弱形式，如上所知，此猜想连周知的猜想 D 将意味着存在一个好的母题理论，还将意味着 (6a) 式成立并且 Pᵢ (t) 是 π 作用在母题 hⁱ X 上的特征多项式，特别是、Pᵢ (t) 的系数在 ℚ 中，不依赖于ℓ ，简单的讨论进而会证明其系数在 ℤ 中.

Hodge 标准猜想是一个正面的断言，其意味着每个母题的自同态代数具有一个正定的对合，假如这是对的，则由Weil的讨论方法即能证明 (6b).

在特征零的情形，Hodge 标准猜想可用解析方法证明，但在非零特征的情形，仅对很少的簇知其成立.然而，其亦可由 Hodge 猜想和 Tate 猜想推得 [Mi].

Deligne[Del] 用了一个非常巧妙的办法成功地完成了 Weil 猜想的证明，但其证明不用标准猜想，因此，Grothendieck 的话 ([Gr] p.198)：

标准猜想的证明连同奇异消解问题[非零特征的情形]对我来说似乎是

代数几何中最紧迫的任务.

至今依然正确.

8 母题的 Zeta函数

ℚ 上的簇的 Zeta 函数

假设 X 是 ℚ 上非奇异射影簇.我们先将定义 X 的多项式去分母使其具有整系数，然后将这些方程模素数 p，即得 𝔽ₚ。上的一个射影膜 Xₚ.如果 Xₚ 仍然是非奇异的，则称 p 是“好的”，除有限个以外，所有的素数都是好的，我们定义 X 的 Zeta 函数为¹⁵

ς(X，s)＝∏ Z (X ᴘ₁ p⁻ˢ).

　　 好的p

例如，当 X＝ℙ⁰＝单点时，

1

ς(X，s)＝∏ₚ────── ，

　　 1―p⁻ˢ

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