补丁版第（5）章格罗滕迪克 (7-3)

此猜想也是关于代数链的存在性的断言，因此是很困难的.对于有限域上的非奇异射影簇（此时某种Frobenius 映射的多项式可用于分解母题）和特征零的Abel簇(由定义知Abel簇具有交换群结构，映射m：X → X，m ∈ ℤ，可用于分解h X)这是对的.

　　假如猜想 C 是对的，则可谈论母题的权(weight).例如，母题hⁱ X的权为 i，而 h (X，πᵢ，m)的权为i ― 2m.母题称为是纯粹的 (pure) 是指其具有单一的权(singleweight).每个母题都是纯粹母题的直和.

只有证明了猜想C和猜想 D，Grothendieck 的梦想才能得以实现.

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附注6.1 Murre[Mu]曾经猜测分解 (3) 即使在Cᵈⁱᵐ ˣᵣₐₜ (X × X) 中也是存在的，已证明他的猜想等价于 Beilinson 和Bloch 关于 Chow 群上的一个有趣的滤链的存在性猜想.

什么是 Tannaka 范畴(Tannakian category) ?

所谓仿射群，是指一个矩阵群（可能是无限维的）¹⁴.对于 ℚ 上的仿射群 G，其在有限维 ℚ― 向量空间上的表示的全体构成一个带有张量积和对偶的 Abel 范畴Repℚ(G)，而遗忘函子则是一个从 Repℚ(G)到 Vecℚ 的保持张量积的忠实函子(faithful functor).

　ℚ 上的一个中性的 Tannaka 范畴 (neutral Tannakian category) T 是指一个 Abel 范畴，其带有张量积和对偶并存在到Vecℚ的保持张量积的忠实的正合函子；这样一个函子 ω 的张量积自同构构成一个仿射群 G，并且函子 ω 的选取决定了范畴的等价T → Repℚ(G).因此，一个中性的 Tannaka 范畴即是一个没有指定“遗忘”函子的仿射群的表示范畴的抽象形式 (正如向量空间是 kⁿ 的没有指定基的抽象形式一样).

　ℚ上的一个 Tannaka 范畴 T (未必是中性的) 是指一个Abel 范畴，其带有张量积和对偶并存在到某特征零的域 (未必是ℚ)上的向量空间范畴且保持张量积的忠实的正合函子；我们还要求End(𝟙)＝ℚ 成立；这样的函子的选取给出了 T 到仿射群胚范畴的一个范畴等价.

　Mₙᵤₘ (k) 是 Tannaka 范畴吗？

　不，不是 Tannaka 范畴，在一个带有张量积和对偶的 Abel 范略 T 中是可以定义一个对象的自同态的迹的.其将被任何忠实的正合函子 ω：T → Vecℚ 所保持，因此对于对象 M 的恒等映射 u，有

Tr(u|M)＝Tr(ω(u)|ω(M))＝dimℚ ω(M),

此为向量空间的维数，故为非负整数.对于簇 X 的恒等映射 u ，Tr(u|h X)即为 X 的 Euler-Poincaré 特征 (Betti 数的交错和).例如，若 X 是亏格 g 的曲线，则有

Tr(u|h X)＝dim H⁰ ― dim H¹＋dim H² ＝2 ― 2g，

这可以是负的.这证明不存在正合的忠实张量函子 ω :Mₙᵤₘ(k) →Vecℚ.

为修正这一点，我们不得不变动张量积结构的内在机理.假设猜想 C 成立，则每个母题有分解 (4).如果当 ij 为奇数时，我们改变“典范”同构

hⁱ X ⨂ hʲ X ≃ hʲ X ⨂ hⁱ X

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