补丁版第（5）章格罗滕迪克 (7-2)

¹³一个周知的猜想断言，当 k 是有限域的代数扩张时，自然函子Mᵣₐₜ(k)→ Mₙᵤₘ(k)是一个范畴等价. 一 原注

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● 上述结论对有效母题范畴亦成立，但是在M~ (k) 中，对象存在对偶. 这意味着对每个母题 M 均存在对偶母题 Mᵛ 和“赋值映射” ev：Mᵛ ⨂ M → 𝕀 并且满足某种泛性质.例如，当 X 连通时有

h(X，e，m) ᵛ＝h(X，eᵗ，dim X ― m).

应该强调的是，尽管Mᵣₐₜ (k) 不是Abel范畴，但依然是非常重要的范畴，特别是，它比 Mₙᵤₘ (k) 包含了更多的信息.

X ⇝ h X 是泛上同调理论吗？

当然，函子X ⇝ hX将 X 映为其Chow母题是有泛性质的.这几近赘述：好的上同调理论即为可通过Mᵣₐₜ (k) 进行分解的理论.

然而对于Mₙᵤₘ (k) 却存在着问题：一个数值等价于零的对应将给出母题间的零映射，但是一般地我们并不知道其是否在上同调上也定义零映射.为使一个好的上同调理论能通过 Mₙᵤₘ (k) 进行分解，其须满足下述猜想：

猜想 D 如果一个代数链数值等价于零，则其上同调类也是零.

换句话说，若cl(γ)≠ 0，则 γ 不会数值等价于零.结合Poincaré对偶，我们可重述为：如果存在上同调类 γ 满足cl(γ)∪γ' ≠ 0，则存在一个代数链γ'' 满足γ" · γ" ≠ 0.因此，此猜想是一个关于代数链的存在性断言，不幸的是，我们尚无方法能够证明代数链的存在性，更具体地说，当我们期望一个上同调类是代数的，即是代数链类，我们尚无途径能给出具体证明，这是一个主要问题，至少是算术几何和代数几何中的主要问题.

在特征为零时，猜想 D 对 Abel 簇是对的，猜想 D 可由 Hodge 猜想推出.

为什么 hX 不是分次的？

当我们假设猜想 D 成立时，好的上同调理论 H 确实能通过X ⇝ hX分解.这意味着存在从Mₙᵤₘ (k) 到 H 的基域上的向量空间范畴的函子 ω 使有：

ω(h X)=H*(X) ≝ ⨁² ᵈⁱᵐ ˣ ᵢ₌₀ Hⁱ (X).

显然应该存在 hX 的一个分解使其能够统一诱导出每个好的上同调理论所具有的H*(X)分解，对于ℙ¹由 (2) 知这是对的，下述猜想是由Grothendieck提出的.

猜想 C 在环 End(hX)＝Cᵈⁱᵐ ˣₙᵤₘ (X × X) 中，对角 Δₓ 可典范地分解成幂等元之和：

Δ ₓ=π ₀+ · · · + π₂dim X· (3)

此表示式决定一个分解

h X＝h⁰ X ⨁ h¹ X ⨁ · · · ⨁ H² ᵈⁱᵐ ˣ (X). (4)

这里hⁱ X＝h (X，πᵢ，0)，此分解应该有这样的性质，即对每个满足猜想 D 的好的上同调理论分解 (4) 给出如下分解：

H*(X)＝H⁰(X)⨁ H¹(X)⨁ · · · ⨁ H² ᵈⁱᵐ ˣ (X).

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