数学联邦政治世界观
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补丁版第(5)章格罗滕迪克 (7-1)

注:格罗滕迪克(2/3)篇章。

6  

  那在我们完义M~(k)为这样的范畴,其对象为二元对 h (X,e)其中 X 加上 e 为环Corr⁰~(X,X)ℚ 中的幂等元,而态射则由

Hom(h(X,e),h(Y,f))=f o Corr⁰~ (X,Y)ℚ o e

(Corr⁰~(X,Y)ℚ 的子集)定义.这正是要寻找的!这里是关于有理等价还是关于数值等价的有效母题范畴是依赖于 ~ 的选择的,我们将其记为M~ᵉᶠᶠ (k).前面定义的母题范畴可看作是由h (X,Δₓ) 为对象构成的全子范畴.

  例如,上面的讨论表明Corr⁰ᵣₐₜ(ℙ¹,ℙ¹)=ℤ ⨁ ℤ且e₀ ≝ (1,0) 和e₂ ≝ (0,1) 分别由{0} × ℙ¹和ℙ¹ × {0} 所代表.相应于分解Δᴘ¹ ~ e₀+e₂,我们可得分解

h(ℙ¹,Δᴘ¹)=h⁰ ℙ¹ ⨁ h² ℙ¹

这里hⁱ ℙ¹=h(ℙ¹,eᵢ)(这在 Mᵉᶠᶠᵣₐₜ (k) 中和在 Mᵉᶠᶠₙᵤₘ 中都成立).我们记 𝟙 = h⁰ ℙ¹,L=h² ℙ¹.

从某种意义上讲,有效母题范畴是最有用的¹²,但是一般地人们更倾向于一个在其中每个对象都存在对偶的范畴.这极易通过将 L 取逆实现.

三论

M~(k)的对象现在为三元对 h (X,e,m),其中 X 和 e 如前,而 m ∈ ℤ.态射定义为

Hom(h(X,e,m),h(Y,f,n))=f ◦ Corr~ⁿˉᵐ(X,Y)ℚ o e.

这是 k 上母题范畴.前面定义的母题范畴可看作是由 h (X,e,0) 为对象构成的全子范畴

有时称 Mᵣₐₜ (k) 为 Chow 母题范畴,而称 Mₙᵤₘ(k) 为 Grothendieck(或数值) 母题范畴.

6 M~(k)和X ⇝ hX 的所知

范畴M~(k)的已知性质

● 态射集合是 ℚ― 向量空间,若~为num则其为有限维的 (但是其他情形一般不是有限维的).

● 母题的直和存在,故M~(k)是加法范畴.例如

h(X,e,m)⨁ h(Y,f,m) = h (X ⊔ Y,e ⨁ f,m).

● 母题 M 的自同态环中的一个幂等元 f能将 M 分解为 f 的核与像的直和,故M ~ (k) 是一个伪 Abel 范畴.例如,若M=h (X,e,m),则

M = h (X,e ― e f e,m) ⨁ h(X,efe,m).

● Mₙᵤₘ (k) 是 Abel 范畴且为半单范畴,但是M~ (k) 一般不是 Abel 范畴,只有在 k 是有限域的代数扩张的情形或许可能是 Abel 范畴 ¹³.

● M~(k)上有好的张量积结构,定义为

h(X,e,m) ⨂ h (Y,f,n)=h (X × Y,e × f,m+n).

记 h X=h(X,Δₓ,0);则h X ⨂ h Y = h (X × Y ),故对X⇝h X Kiinneth 公式成立.

_____

¹²例如,在探究具有 ℤ (而不是 ℚ) 系数的有限域上的有效母题范畴时,Niranjan Ramachandran 和我发现了此范畴中的 Ext 的阶数和 Zeta 函数的特殊值之间的一个优美的关系,但是当从这种有效母题范畴过渡到母题的整个范畴时,这个关系却消失了. 一原注

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