补丁版第（5）章格罗滕迪克 (7-1)

注：格罗滕迪克（2/3）篇章。

6　　

　　那在我们完义M~（k）为这样的范畴，其对象为二元对 h (X，e）其中 X 加上 e 为环Corr⁰~(X，X)ℚ 中的幂等元，而态射则由

Hom(h(X，e)，h(Y，f))＝f o Corr⁰~ (X，Y)ℚ o e

(Corr⁰~(X，Y)ℚ 的子集)定义.这正是要寻找的！这里是关于有理等价还是关于数值等价的有效母题范畴是依赖于 ~ 的选择的，我们将其记为M~ᵉᶠᶠ (k).前面定义的母题范畴可看作是由h (X，Δₓ) 为对象构成的全子范畴.

　 例如，上面的讨论表明Corr⁰ᵣₐₜ(ℙ¹，ℙ¹)＝ℤ ⨁ ℤ且e₀ ≝ (1，0) 和e₂ ≝ (0，1) 分别由{0} × ℙ¹和ℙ¹ × {0} 所代表.相应于分解Δᴘ¹ ~ e₀＋e₂，我们可得分解

h(ℙ¹，Δᴘ¹)＝h⁰ ℙ¹ ⨁ h² ℙ¹

这里hⁱ ℙ¹＝h(ℙ¹，eᵢ)(这在 Mᵉᶠᶠᵣₐₜ (k) 中和在 Mᵉᶠᶠₙᵤₘ 中都成立).我们记 𝟙 = h⁰ ℙ¹，L＝h² ℙ¹.

从某种意义上讲，有效母题范畴是最有用的¹²，但是一般地人们更倾向于一个在其中每个对象都存在对偶的范畴.这极易通过将 L 取逆实现.

三论

M~（k）的对象现在为三元对 h (X，e，m)，其中 X 和 e 如前，而 m ∈ ℤ.态射定义为

Hom(h(X，e，m)，h(Y，f，n))＝f ◦ Corr~ⁿˉᵐ(X，Y)ℚ o e.

这是 k 上母题范畴.前面定义的母题范畴可看作是由 h (X，e，0) 为对象构成的全子范畴

有时称 Mᵣₐₜ (k) 为 Chow 母题范畴，而称 Mₙᵤₘ(k) 为 Grothendieck(或数值) 母题范畴.

6 M~(k)和X ⇝ hX 的所知

范畴M~(k)的已知性质

● 态射集合是 ℚ― 向量空间，若~为num则其为有限维的 (但是其他情形一般不是有限维的).

● 母题的直和存在，故M~(k)是加法范畴.例如

h(X，e，m)⨁ h(Y，f，m) = h (X ⊔ Y，e ⨁ f，m).

● 母题 M 的自同态环中的一个幂等元 f能将 M 分解为 f 的核与像的直和，故M ~ (k) 是一个伪 Abel 范畴.例如，若M＝h (X，e，m)，则

M = h (X，e ― e f e，m) ⨁ h(X，efe，m).

● Mₙᵤₘ (k) 是 Abel 范畴且为半单范畴，但是M~ (k) 一般不是 Abel 范畴，只有在 k 是有限域的代数扩张的情形或许可能是 Abel 范畴 ¹³.

● M~(k)上有好的张量积结构，定义为

h(X，e，m) ⨂ h (Y，f，n)＝h (X × Y，e × f，m＋n).

记 h X＝h(X，Δₓ，0)；则h X ⨂ h Y = h (X × Y )，故对X⇝h X Kiinneth 公式成立.

＿＿＿＿＿

¹²例如，在探究具有 ℤ (而不是 ℚ) 系数的有限域上的有效母题范畴时，Niranjan Ramachandran 和我发现了此范畴中的 Ext 的阶数和 Zeta 函数的特殊值之间的一个优美的关系，但是当从这种有效母题范畴过渡到母题的整个范畴时，这个关系却消失了. 一原注

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。