补丁版第（5）章格罗滕迪克 (6-4)

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⁶粗略地说，Tate猜想说的是，当k₀是ℚ 的有限生成扩张时，Galois 群在Aut(Hⁱₑₜ(X，ℚℓ))中的像在很大程度上受代数链的存在性的约束. — 原注

4.

　为得到在整个集合上有定义的映射，我们需要能够移动代数链.X的两个链γ₀和γ₁称为有理等价(rationallyequivalent)的⁷是指存在X × ℙ¹上的一个代数链 γ 使得γ₀是γ在0上的纤维，而γ₁是γ在1上的纤维.这给出了一个等价关系，我们令Cʳᵣₐₜ (X) 表示相应的商群.可以证明，交积(intersection product)定义了一个双可加映射 ⁸。

Cʳᵣₐₜ(X) × C⁸ᵣₐₜ(X)→Cʳ⁺⁸ᵣₐₜ (X).(1)

设C*ᵣₐₜ (X)＝⨁ᵈⁱᵐ ˣ ᵣ₌₀Cʳᵣₐₜ（X）.此为一个ℚ― 代数，称为 X 的 Chow 环.

有理等价是能够在等价类上给出映射(1) 的最细的代数链的等价关系，而最粗的这种等价关系是数值等价(numerical equivalence)：两个代数链 γ 和 γ' 称为数值等价是指对所有的有补维数(complementary dimension)的代数链δ，，有 γ · δ＝γ' · δ.代数链的数值等价类构成环C*ₙᵤ ₘ=⨁ᵈⁱᵐ ˣ ᵣ₌₀ Cʳₙᵤ ₘ (X)，其为Chow环的商环.

例如，射影平面ℙ² 上的余维数1的素链即是由不可约齐次多项式 P(X₀，X₁，X₂)定义的曲线. 分别由两个多项式定义的素链是有理等价的当且仅当这两个多项式有相同次数.故群C¹ᵣₐₜ(ℙ²)≃ ℤ 且以ℙ²中任意直线所在的类为基.

ℙ¹ × ℙ¹中余维数为1的素链即为由一个关于每一对符号 (X₀，X₁) 和 (Υ₀，Υ₁) 皆为可分齐次的不可约多项式 P(X₀，X₁，Υ₀，Υ₁) 定义的曲线.此链的有理等价类由一对次数所决定.故群C¹ᵣₐₜ(ℙ¹ × ℙ¹)≃ ℤ × ℤ 且以{0} × ℙ¹和 ℙ¹ × {0}的类为基；对角 Δp₁与{0} × ℙ¹＋ℙ¹ × {0} 有理等价.

从现在起，~等于rat 或num.

　 链映射

对所有的我们所感兴趣的上同调理论，皆有链类映射

cl：C*ᵣₐₜ(X)ℚ → H* (X) ≝ ⨁ ² ᵈⁱᵐ ˣ ᵣ₌₀ Hʳ (X)　　

其将次数加倍且将交积映为杯积 (cup product).

对应

我们仅对是反变函子的上同调理论感兴趣，即由代数簇的正则映射f：Υ → X可定义同态Hⁱ(f)：Hⁱ(X) → Hⁱ (Y).然而，这是一个匮弱的条件，因为一般来说一个代数簇到另一个代数簇之间的正则映射是很少的. 代之，我们应该允许“多值映射”，或，更确切地说，是“对应”(correspondence).

从X到Y的r次对应群定义为

Corrʳ(X，Υ)＝Cᵈⁱᵐ ˣ⁺ʳ(X × Υ).

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