补丁版第（5）章格罗滕迪克 (6-3)

⁴ 对 р (即 k 的特征)也有Étale 上同调群Hⁱ (X，ℚₚ)，但其性质异常；例如，当 E 是超奇异椭团曲线时，H¹(E，ℚₚ)＝0.― 原注

⁵ 目前，在非零特征的情形对此结论的证明需要用 Deligne[Del]关于Weil猜想的结果. ― 原注

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为说明这一点，注意因为 X 可由有限个多项式定义从而仅有有限个系数，故存在 k 的子域 k₀ 上的模型 X₀ 使得 k 是 k₀ 的无限 Galois 扩张 ─ 令Γ =Gal(k/k₀).因此模型的选择定义了 Г 在Hⁱₑₜ(X，ℚℓ)上的一个作用.如果 k 到 ℂ 的不同的 k₀ 嵌入给出Hⁱₑₜ(X，ℚℓ)中的相同子空间 Hⁱ(X (ℂ)，ℚ)，则 Г 在Hⁱₑₜ (X，ℚ) 上的作用将固定 Hⁱ (X，ℚ).但是，无限Galois群皆为不可数，而Hⁱ (X，ℚ) 可数，这意味着可诱导出 Г 的一个有限商群在Hⁱₑₜ(X，ℚℓ)上的作用. 然而，这一般是不对的 ⁶.

同理可知，能够在ℚℓ― 上同调上给出ℚ― 结构的代数定义的上同调将迫使 Г 诱导出有限商群作用，因此不可能存在.

第二种解释

椭圆曲线 E 即是亏格是 1 且有指定点 (群结构的零元) 的曲线.在ℂ上，E(ℂ)同构于 ℂ 关于一个格 ∧ 的商 (因此，从拓扑的角度看它是一个环面).特别地，E（ℂ）是一个群，E 的自同态即为由满足 α∧＝∧的复数 α 定义的映射 z＋∧↦ αz＋∧.由此易知，End(E)是秩 1 或 2 的Z― 模并且 End(E)ℚ。等于 ℚ 或为 ℚ 的一个 2 次扩域 Κ.上同调群H¹ (X (ℂ)，ℚ)是2维ℚ- 向量空间，因此在第二种情形其为 1 维K- 向量空间.

当特征p ≠ 0时，还有第三种可能性，即 End(E)ℚ可能是 ℚ 上 4 次除代数(非交换域).这种除代数能作用于其上的最小的 ℚ- 向量空间是4维的.

因此不存在一种ℚ―上同调理论以诱导出 Grothendieck 所定义的所有这些不同的上同调理论，但我们又如何阐释种种迹象都显示其似乎存在这一事实呢？ Grothendieck的回答是母题理论. 在对其讨论前，我们需要解释一下代数链(algebraic cycle).

4 代数链

一些定义

设 X 是域 k 上 n 维非奇异射影簇. X 上的素链(prime cycle)即为 X 的一个闭子簇 Z 且其不能写成两个真闭子簇的并.其余维数(codimemsion) 是n ― dim Z.如果Z₁和Z₂都是素链，则

codim(Z₁ ∩ Z₂) ≤ codim(Z₁)＋ codim(Z₂)，

当等式成立时我们说 Z₁ 和 Z₂ 是真相交(properly intersect).

X 的余维数为 r 的代数链群Cʳ(X)即是由余维数 r 的素链生成的自由Abel 群.两个代数链γ₁和γ₂称为真相交是指γ₁的每个素链与γ₂的每个素链都真相交，在这种情况下其交积 γ₁ · γ₂ 是有定义的 ― 其为余维数 codimZ₁ + codimZ₂ 的链.例如：

P₁ P₂ P₃ γ₁ γ₂ P γ₁ γ₂

γ₁ · γ₂=P₁+P₂+P₃ 　　γ₁ · γ₂＝2P

由此，我们得到了部分有定义的映射

Cʳ(X) × Cˢ (X)― ― ＞Cʳ⁺ˢ (X).

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