补丁版第（5）章格罗滕迪克 (6-5)

例如，正则映射f：Y → X 的图(gragh)Γ f属于Cᵈⁱᵐ ˣ( X × Υ )，其转置 Γᵗ f 属于Cᵈⁱᵐ ˣ (X × Υ)＝Corr⁰(X，Y). 换句话说，从 Y 到 X 的一个正则映射定义了一个从 X 到 Y 的 0 次对应 ⁹.

从 X 到 Y 的一个0次对应 γ 定义一个同态 H*(X) → H* (Y) .即

x↦q*(p*x ∪cl(γ)).

这里 p 和 q 是投影映射

p q

X ←X × Υ → Υ.

＿＿＿＿＿　　

⁷ 这是同伦等价的代数类比. 一 原注

⁸ 特别地，任意两个代数链 γ₁ 和 γ₂ 都分别有理等价于真相交的代数链 γ'₁ 和γ'₂，并且 γ'₁ · γ'₂的有理等价类不依赖于γ'₁和γ'₂ 的选择. — 原注

⁹ 这里逆反方向是不适宜的，但是在某些时候不得不这么做，因为要和Grothendieck以及大部分随后的作者保持一致. 一 原注

5

　　由Γᵗ f给出的上同调的映射与由 f 给出的是一致的.

我们采用记号：

Corrʳ~(X，Y)＝Corrʳ(X，Y)/~， Corrʳ~(X，Y)ℚ＝Corrʳ~(X，Y)⨂𝕫 ℚ.

5母题的定义

Grothendieck¹⁰ 的想法是，应该存在一个泛上同调理论其取值于由母题构成的ℚ―范畴M(k).

●因此，M(k)应该是一个像有限维ℚ―向量空间范畴 Vecℚ 一样的范畴(但并不完全相似).特别；

― Hom 应该是ℚ― 向量空间(倾向于有限维);

― M(k)应该是一个Abel范畴；

― 进而，M(k)应该是一个ℚ上的Tannaka 范畴 (见下面).

● 应该存在一个泛上同调理论

X⇝h X：(非奇异射影簇) → M(k).

特别是：

― 每个代数簇 X 应该定义一个母题h X，每个从 X 到 Y 的零次对应应该定义一个同态 hX → hY(特别地，一个正则映射 Y → X 应该定义一个同态 hX → hY).

― 每个好的上同调理论¹¹应该能唯一通过X⇝hX分解.

初论

我们可简单地将M~(k)定义为这样的范畴；对 k 上每个非奇异射影簇 X 有对象hX ,而态射由

Hom(hX，hY)＝Corr⁰~(X，Y)ℚ

定义，态射的合成即为对应的合成，所以这是一个范畴.然而，这存在着明显的不足.例如，一个ℚ― 向量空间 V 的自同态 e ，若满足e²＝e，则其可将此向量空间分解成其 0 和 1 的特征空间

V＝Ker(e)⨁eV，

若(W，f)为另一个这样的对，则在Hom ℚ - 线性(V，W)中有：

Homℚ - 线性 (eV，fW) ≃ f o Homℚ - 线性(V，W)o e.

同样的结论在任意Abel范畴中亦成立，因此，如果我们想让M~(k)成为Abel 范畴，我们至少应该把幂等态射的像也添加到

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