补丁版第（5）章格罗滕迪克 (6-2)

Weil 关于代数簇上坐标在有限域中的点的个数的工作 ([We]) 促使他提出著名的“Weil猜想”，其给出了有限域上方程的解的个数与相应的复系数方程定义的簇的拓扑性质的关系，特别是，他发现点的个数似乎可由一个相应的 ℂ 上的代数簇的 Betti 数所控制，例如，对于 р 元域 𝔽ₚ，上的亏格为 g 的曲线 X 其点的个数|X(𝔽ₚ）|满足不等式： 1

||X(𝔽ₚ)l–p–1|≤2gp─，g=X的亏格，

2

Weil 预言 ℂ上某些超曲面的Betti数能够通过计算𝔽ₚ 上具有相同维数和相同次数的超曲面上的点数来确定 (他的预言被Dolbeault证实).显然大部分猜想可由具有良好性质的代数簇的上同调理论 (如ℚ系数、正确的 Betti 数、Poincaré 对偶定理，Lefschetz不动点定理，...) 推出.事实上，正如我们将看到的，这种ℚ的系数上同调理论并不存在，但在此后的许多年中许多尝试都意在寻找系数在某个特征0的域(不是ℚ)中的好的上同调理论.最终，在60年代，Grotbendieck定义了 Étale上同调和晶体上同调，并证明这种代数方式定义的 de Rham 上同调当域特征为 0 时具有好的性质，而问题则变成我们有太多的上同调理论！

在ℚ上，除了通常的赋值以外，对每个素数ℓ还有如下定义的赋值：

　　 m

|ℓʳ ─ |＝1/ℓʳ ， m，n∈ ℤ 且不被ℓ整除. n

　每个赋值都使ℚ成为一个度量空间，将其完备化后，我们得到域ℚ₂，ℚ₃，ℚ₅，...，ℝ对每个不同于 k 的特征的素数ℓ，Étale 上同调给出上同调群 ⁴

H⁰(X，ℚℓ)，...，H²ⁿ(X，ℚℓ)

这都是ℚℓ，上有限维向量空间并且满足Poincaré对偶、Lefschetz不动点公式，等等另外还有de Rham群Hⁱdʀ(X)，其为k 上有限维向量空间，而且在特征p≠0时，有晶体上同调群，其为某个特征 0域(即系数在k中的 Witt 向量环的分式域) 上的有限维向量空间.

这些上同调理论不可能相同,因为它们给出完全不同的域上的向量空间.但是它们也不是不相关联的，例如，由一个正则映射α：X → X诱导出的映射αⁱ：Hⁱ(X) → Hⁱ(X)的迹 (trace) 就是一个与上同调理论无关的有理数 ⁵.因此，各种迹象表明似乎存在着代数定义的上同调群Hⁱ (X，ℚ) 使得有Hⁱₑₜ (X，ℚℓ) ≃Hⁱ (X，ℚ) ⨂ℚ ℚℓ等等，但事实却并非如此.

3为什么不存在代数的ℚ-上同调？

为什么没有代数定义的ℚ-上同调 (即从代数簇到 ℚ- 向量空间的函子) 以诱导出Grothendieck 所定义的这些不同的上同调？

第一种解释

设 X 是特征 0 的代数闭域 k 上的非奇异射影簇.当我们取定一个嵌入k → ℂ时，我们即得到一个复流形 X (ℂ).熟知

Hⁱₑₜ(X，ℚℓ）≃Hⁱ (X(ℂ)，ℚ)⨂ ℚℓ

Hⁱdʀ (X) ⨂κ ℂ ≃ Hⁱ (X(ℂ)，ℚ)⨂ℚ ℂ.

换句话说，每个嵌入k↪ℂ确实在各个上同调群上定义一个 ℚ―结构.然而，不同的嵌入可以给出完全不同的 ℚ― 结构.

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