补丁版第（5）章格罗滕迪克 (6-1)

注：本篇共分为三章内容（1/3）。

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母题—Grothendieck的梦想

James S. Milne

摘要

1964年，Grothendieck 在给Serre的信中引入了“母题（Motive)”的概念.后来他写道，在所有他有幸发现的事物中，母题是最充满神秘的，或许将成为最强有力的探索工具 ¹.在此报告中，我将解释什么是母题 ²？以及为什么 Grothendieck 对其如此看重.

内容

1拓扑学中的上同调

2 代数几何学中的上同调

为什么不存在代数的ℚ-上同调？

4 代数链

5 母题的定义

6M~(k)和X~h X的所知

7重温 Weil 猜想

8 母题的 Zeta 函数

9 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想和一些神秘的平方

10 后注

1 拓扑学中的上同调

设 X 为一个实 2n 维紧流形，则有 X 的上同调群

H⁰(X，ℚ).....,H²ⁿ(X，ℚ)，

这些群为ℚ上有限维向量空间且满足 Poincaré对偶 (Hⁱ 对偶于H²ⁿ⁻ⁱ)，Lefschetz 不动点公式等等，上同调群有多种不同的定义方法一 如用奇异链，Čech 上同调，导出函子一但是这些不同的定义方法都给出相同的群(如果其满足Eilenberg-Steenrod公理系)当 X 是复解析流形时，还有de Rham 上同调群Hⁱdʀ(X).这些都是ℂ上向量空间，但这并不给出新的群，因为我们 ³ Hⁱdʀ(X)≃ =Hⁱ(X，ℚ)⨂ℚ ℂ (然而，当 X 是Kähler 流形时，de Rham上同调群具有Hodge分解，因而提供了更多的信息...).

2 代数几何学中的上同调

现在考虑代数闭域 k 上的 n 维非奇异射影代数簇 X .即 X 由 k 上的一些多项式定义，非奇异射影条件意味着若k＝ℂ，则簇上的点X (ℂ) 构成一个2n维紧流形.

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¹ 在所有我有幸发现并呈观给世人的数学事物中，母题的实在性对我来说依然是最奇妙，最充满神秘的一它甚至是“几何”与“算术”在深层面上的同一所在，而母题的“喻伽” (即母题的哲学一译注) ，，或许是在我作为一个数学家的人生前半期所发现的最强有力的探索工具、

— Grothendieck， 《收获与播种》，引言，— 原注

² 据说。“Motive”是借用了法国印象派西家寒尚用以损述他的绘面方法的术语，塞尚在作面的时候首先选择一个母题 (在以往的音乐和美术文航中“Motive”被翻泽成“母题”)，如人物，静物，景色等等，然后直接研究他对母题的不断变化的感受，最后将对母题的感受实现在画布上. 一译注

³ 用≃表示典范同构.还记M ⨂𝕫 ℚ 为Mℚ. 一 原注

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