补丁（2）集合论十大公理篇章序列论文 (4-3)

（Axiom of infinity）存在着一个集合X，空集 ∅ \varnothing ∅为其元素之一，且对于任何X中的元素x， S ( x ) = x ∪ { x } S(x)=x \cup \{x\} S(x)=x∪{x}也是X的元素。

∃ X [ ∅ ∈ X ∧ ∀ x ( x ∈ X ⇒ S ( x ) ∈ X ) ] . \exists X \left[ \varnothing \in X \land \forall x(x \in X \Rightarrow S(x) \in X) \right]. ∃X[∅∈X∧∀x(x∈X⇒S(x)∈X)].

这个定理是说：存在一个无限集合。

特别的，如果令：

0 = ∅ 0=\varnothing 0=∅,

1 = { ∅ } = 0 ∪ { 0 } 1=\{\varnothing \} = 0 \cup \{0\} 1={∅}=0∪{0},

2 = { ∅ , { ∅ } } = 1 ∪ { 1 } 2= \{ \varnothing , \{\varnothing \}\} =1 \cup \{1\} 2={∅,{∅}}=1∪{1}，

3 = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } = 2 ∪ { 2 } 3= \{ \varnothing , \{\varnothing \} ,\{ \varnothing , \{\varnothing \}\}\} =2 \cup \{2\} 3={∅,{∅},{∅,{∅}}}=2∪{2},

…

n + 1 = n ∪ { n } n+1= n \cup \{n\} n+1=n∪{n}，

则记 N = { 0 , 1 , 2 , . . . } N=\{0,1,2,... \} N={0,1,2,...}为自然数集合(冯诺伊曼序数)，它是满足无穷公理的最小集合。

8.正则公理 Fnd

（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。

∀ x [ x ≠ ∅ ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ x ∩ y = ∅ ) ] . \forall x[x \neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x \land x \cap y = \varnothing )]. ∀x[x​=∅⇒∃y(y∈x∧x∩y=∅)].它的一个直接推论是：

任何集合x都不属于自身。

正则公理还确保不存在无穷下降链。

9.替换公理模式 Rep

（Axiom schema of replacement）给定公式f(x,y)，对任意x，都有唯一的y，使得f(x,y)成立。

∀ A ∀ x ∈ A ∃ ! y f ( x , y ) ⇒ ∃ B ∀ x ∈ A ∃ y ∈ B f ( x , y ) . \forall A \forall x \in A \exists !y f(x,y) \Rightarrow \exists B \forall x \in A \exists y \in B f(x,y) . ∀A∀x∈A∃!yf(x,y)⇒∃B∀x∈A∃y∈Bf(x,y).替换公理是说，

任何集合在一个函数下的像仍是一个集合。

10.选择公理 AC

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