补丁（2）集合论十大公理篇章序列论文 (4-2)

由分离公理，我们可以断定任意两个集合的交和差仍是集合。

X ∩ Y = { u ∣ u ∈ X ∧ u ∈ Y } . X \cap Y = \{u| u \in X \wedge u \in Y \}. X∩Y={u∣u∈X∧u∈Y}. X − Y = { u ∣ u ∈ X ∧ u ∉ Y } . X - Y = \{u| u \in X \wedge u \notin Y \}. X−Y={u∣u∈X∧u∈/​Y}.

分离公理排除了“所有集合的集合”，避免了罗素悖论，还进一步引出了"类"、"真类"的概念。

4.对集公理 Pai

（Axiom of pairing）对任意集合a,b，存在一个集合c只以a,b为元素。

∀ a ∀ b ∃ c ∀ x ( x ∈ c ⇔ x = a ∨ x = b ) . \forall a \forall b \exists c \forall x(x \in c \Leftrightarrow x=a \vee x=b). ∀a∀b∃c∀x(x∈c⇔x=a∨x=b).记 c = { a , b } c=\{a,b\} c={a,b}，由对集公理知，单点集 { a } = { a , a } \{ a \} = \{a,a\} {a}={a,a}是集合。

5.并集公理 Uni

（Axiom of union）每一个集合有一个并集。也就是说，对于每一个集合X，总存在着另一个集合Y，满足Y的元素是且只是X的元素的元素。

∀ X ∃ Y ∀ u ( u ∈ Y ⇔ ∃ z ( z ∈ X ∧ u ∈ z ) ) . \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \Leftrightarrow \exists z (z \in X \wedge u \in z)). ∀X∃Y∀u(u∈Y⇔∃z(z∈X∧u∈z)).这样的Y是唯一的，称为X的并，记为 ∪ X \cup X ∪X，特别的， X ∪ Y = ∪ { X , Y } X \cup Y = \cup \{ X,Y \} X∪Y=∪{X,Y}是集合。

6.幂集公理 Pow

（Axiom of power set）对于任何集合X，存在着一个集合Y，使得Y的元素是且只是X的子集。

∀ X ∃ Y ∀ u ( u ∈ Y ⇔ u ⊆ X ) . \forall X \exists Y \forall u(u \in Y \Leftrightarrow u \subseteq X). ∀X∃Y∀u(u∈Y⇔u⊆X).这样的Y是唯一的，称为X的幂集，记为 P ( X ) {\mathcal {P}}(X) P(X)。

幂集公理允许定义两个集合X、Y的笛卡儿积：

X × Y = { ( x , y ) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } ⊆ P ( P ( X ∪ Y ) ) . X \times Y = \{(x,y):x \in X \land y \in Y\} \subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}} (X \cup Y)). X×Y={(x,y):x∈X∧y∈Y}⊆P(P(X∪Y)).

幂集公理是说，一个集合的所有子集组成其幂集。

7.无穷公理 Inf

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