补丁（2）集合论十大公理篇章序列论文 (4-4)

（Axiom of choice，Zermelo’s version）令X为一非空集合，则存在一从X映射至X内成员的并集的函数f（称为“选择函数”），可使得对所有的Y ∈ X都会有f(Y) ∈ Y。

上述可表示为：

∀ X [ ∅ ∉ X    ⟹    ∃ f : X → ∪ X ∀ A ∈ X ( f ( A ) ∈ A ) ] . \forall X \left[ \varnothing\notin X \implies \exists f : X\rightarrow \cup X\quad \forall A \in X (f(A) \in A) \right] . ∀X[∅∈/​X⟹∃f:X→∪X∀A∈X(f(A)∈A)].

又表述为，给定由相互不交的非空集合组成的任何集合，存在着至少一个集合，它与每个非空集合恰好有一个公共元素。

良序原理、佐恩引理都被证明与选择公理等价。

首先定义几个概念：

集族：指由非空集合组成的集合。

选择函数：它是一个集族上的函数。它规定：对于所有在集族 X X X中的集合 s s s， f ( s ) f(s) f(s)是 s s s的一个元素。

那么，选择公理表示：

对于所有的集族，均存在选择函数。

集族上的任意笛卡尔积总是非空的。

所有集合有一个选择函数。

对于任何集合A有一个函数使得对于A的任何非空子集B， f ( B ) ∈ B f(B) \in B f(B)∈B。

选择公理是相当复杂的，并且它只断言了选择集(选择函数)的存在，却并没有给出具体构造它的方法。

补充说明：

事实上，这里对集公理、并集公理、幂集公理都可以替换成较弱的形式，然后用分离公理模式证明出来。

(弱对集公理)对任意a和b，存在一个集合Y满足 a ∈ Y ∧ b ∈ Y a \in Y \wedge b \in Y a∈Y∧b∈Y。

(弱并集公理)对任意集合X，存在集合Y满足如果存在 z ∈ X z \in X z∈X，使得 u ∈ z u \in z u∈z，则 u ∈ Y u \in Y u∈Y 。

(弱幂集公理)对任意集合X，存在集合Y满足如果存在 u ⊆ X u \subseteq X u⊆X，则 u ∈ Y u \in Y u∈Y 。

以上10大定理组成的公理系统称为ZFC，由策梅罗在1908年提出。实际上，ZFC有无穷多个公理，因为替换公理和分离公理实际上是公理模式。ZFC集合论二者都不能用有限数目个公理来公式化，这最先由Richard Montague证实。冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是设计生成同Zermelo-Fraenkel 集合论与选择公理一起（ZFC）同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理，即是不使用公理模式。

依据哥德尔第二不完备定理，ZFC的一致性不能在ZFC自身之内证明。

ZFC的广延等同于普通数学，所以ZFC的相容性不能在普通数学中证明。但是几乎没有人怀疑ZFC有什么未被发觉的矛盾；如果ZFC是不自洽的，早就该被发掘出来。这是确定无疑的：ZFC免除了朴素集合论的三大悖论，罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。

同样广为人知的连续统假设，也不能在ZFC自身之内证明。

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