补丁版第（5）章格罗滕迪克 (4-2)

好的p

例如，

ς(h⁰(ℙ¹))＝ς(s)，ς(h²(ℙ¹))＝ς(s ― 1).

对椭圆曲线 E，

h E=h⁰ E ⨁ h¹ E ⨁ h² E.

＿＿＿＿＿＿＿　　

¹⁶ 特别是，Pᵢ(X，t)是 ℤ 系数的多项式，其不依赖于 ℓ.这表明由猜想 C 和 D 可推出 (6a)，这独立于 Deligne 的工作. 一原注

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故

ς(h E，s)＝ς（h⁰ E，s) - ς(h¹ E，s) · ς (h² E，s)＝ς(s) · L (E，s)⁻¹ · ς(s ― 1).

注意，在没有假设任何未被证明的猜想的情况下，我们定义了 ℚ 上的母题范畴，并对此范畴中的每个对象赋予一个 Zeta 函数.这是一个复变量 s 的函数，人们猜想它有许多奇妙的性质.如此产生的函数你为母题的 L― 函数 (motivieL-function).另一方面，可以用完全不同的方法，即从模形式，自守形式，或更一般地，从自守表示来构造函数工 L (s) ― 称为自守 L― 函数，其定义不用代数几何，下面是 Langlawls 纲领中的一个具有指导意义的基本原则：

模性大猜想 (Big Modularity Ccnjecture) 每个哥题的 L- 函数都是自守L― 函数的交错积(alternating product).

设 E 是 ℚ 上椭圆曲线.模性 (小) 猜想说的是，ς(h¹ E，s) 是模形式的Mellin.变换.

　　Wiles (等人) 对此猜想的证明是Rrmat 大定理的证明中的主要步骤.

9 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想和一些神秘的平方

　设 E 是 ℚ 上的椭圆曲线.大约从1960年开始，Birch 和Swiunerton-Dyer 便使用一种早期的计算机 (EDSAC 2) 研究 L(E，s)在 s＝1 附近的情况，计算结果激发了他们的著名猜想. 记 L(E，1)* 为 L(E，s) 关于s ― 1的幂级数展开式中的第一个非零系数：则他们的箭想断言

L(E，1)* ＝{已知项} · {神秘项}.

其中神秘项被想是 E 的Tate-SLafarevich群的阶数，已经知道其 (如果是有限的) 为平方数.

大约与此同时，他们研究了

1

L₃ (E，s)＝∏ₚ ──────────

　　 (1―α³ₚp⁻ˢ)(1― α³ₚP⁻ˢ)

在 s＝2 附近的情况，通过计算，他们发现：

L₃(E，1)* ＝{已知项} · {神秘平方}.

其中神秘的平方项可以很大，例如2401.这究竟是什么呢？

如上所知，L(E，s)⁻¹＝ς(h¹ E，s).我们可将 Birch-Swinnerton-Dyer 的猜想看做是关于 h𝕀 E 的断言. 此猜想已被扩展到ℚ 上的所有母题.可以证明存在母题 M 使得：

h¹(E) ⨂ h¹ (E) ⨂ h¹ (E)＝3h¹ (E， Δᴇ，― 1) ⨁ M

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