补丁版第（5）章格罗滕迪克 (4-3)

以及

ς(M，s)＝L₃(E，s)⁻¹.

因此，这神秘的平方项被猜想是母题 M 的 “Tate-Shafarevich 群”.

10后注

严格地讲，M(k) 应该被称为 纯粹 母题范畴.其对应于 k 上非奇异射影簇.Grothendieck 还预言存在混合母题(mixed motive) 范畴，其对应于 k 上所有的簇构成的范畴.此范畴不再是半单的，但是每个混合母题应有一个滤链，其因子 (quotient) 皆为纯粹母题，目前尚无混合母题范畴的明确定义，甚至连猜想的定义已没有，但是一些数学家已经构造了一些三角化范畴以作为混合母题范畴的导出范畴的候选范畴；当然还需在这些候选范畴之一上定义一个 t- 结构以使其中心为混合母题范畴自身. 13

相关文献

Grothendieck 自己并没有发表任何关于母题的文章，但是在他未发表的手稿17 中以及他和 Serre [GS] 的通信中却经常提到母题，最早解释这一理论的是 Demazure 的文章 [Dem] 和 Kleiman的文章 [Kl].会议论文集 [Mot] 则综述了到1991年为止关于母题的所知结果和进展.特别是，其中 Kleiman 的文章讨论了 Grothendieck 的标准猜想，Scholl 的文章论述了母题范畴的构造，作者的第一篇文章 (特别是2.48) 解释了标准猜想对 Weil 猜想的应用.著作 [Ma] 以及 Geisser 和Levine 在 [KT] 中的文章论述了混合母题方面的最新工作，另外，André 的书 [An]是目前关于母题理论的最好的一般性导引.

参考文献

[An] André, Y.，Une introduction aux motifs (motifs purs，mtifs mixtes， périodes). Panoramas et

Syntheses,17. Societé Matlematique de France，Paris, 2004.

[Del] Deligne, P.，La conjecture de Weil. I. Inst.Hautes Etudes Sei. Publ. Math. No.43 (1974), 273-307

MR0340258

[Dem] Demazure，M.，Motifs des varités algfbriques, Sem Bour 1969/70,365, 20pp.

Gr Grothendieck，A.，Standard conjectures on algebraic cycles. 1969 Algebraic Geometry (Inter

nat. Colloq.，Tata Inst. Fund. Res., Bombay，1968) pp. 193-199 Oxford Univ. Press，London

MR0268189

[GS] Correspondance Grothendieck-Serre. Edited by Pierre Colmez and Jean-Pierre Serre. Documents

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