补丁版第（5）章格罗滕迪克 (4-1)

注：格罗滕迪克（3/3）篇章。

11　

这是Riemann Zeta函数ς(s)；当 X＝ℙ¹时， 1

ς(X，s)＝∏ₚ ────── ＝ς(s)ς (s―1).

　　 (1— p⁻ˢ)(1— pˡ⁻ˢ)

考虑 ℚ 上的椭圆曲线 E .对好的 p ，有

(1― αₚt)(1― αₚt)

Z(Eₚ，t)＝──────────，αₚ +αₚ ∈ Z，αₚ αₚ=p，|αₚ|=p¹/²　

(1― t)(1― pt)

(见5a，5b).故

ς(s)ς(s ― 1)

ς(E，s)＝──────────

L(E，s)

其中

1

L(E，s)＝∏ₚ ─────────

　　 (1― αₚp⁻ˢ)(1― α ₚp⁻ˢ)

母题的Zeta 函数

首先考虑 𝔽ₚ 上的母题.我们不能用一个母题 M 的坐标在域𝔽ₚᵐ中的点来定义 𝔽ₚ 上的母题 M 的 Zeta 函数，因为这根本没有定义，然而，我们知道M (𝔽ₚ) 是 Tannaka 范畴.在任何 Tannaka 范畴中，对象的自同态具有特征多项式.如果 i 是奇数，则我们定义 𝔽ₚ 上权的为 i 的纯粹母题 M 的 Zeta 函数Z(M，t)为 M 的Frobenius 映射的特征多项式，如果 i 是偶数则定义 Z(M，t) 为其倒数.首先，此特征多项式的系数在 ℚ 中，如果 M 是有效的，则系数在 ℤ 中.对于有相同权的母题 M₁ 和 M₂ 有

Z(M₁⨁ M₂，t)＝Z(M₁，t) · Z(M₂，t), (7)

用此公式即可将定义扩展到所有的母题.

这是如何与簇的 Zeta 函数相联系的呢？设 X 是 𝔽ₚ 上 n 维光滑射影簇.如上所知，Grothendieck 和他的合作者们证明了Z(X，t)＝P₁(t) · · · P₂ₙ₋₁(t)/P₀(t)· · · P₂ₙ(t)其中Pᵢ(t) 是 X 的 Frobenius 映射作用在 Étale 上同调群Hⁱₑₜ. (Xғ，ℚℓ) 上的特征多项式（这里是对任意素数 ℓ ≠ p；因此，Pᵢ(t)可能依赖于 ℓ) .现假设对ℓ-adic Étale 上同调猜想 D 成立，则存在函子ω：M(𝔽ₚ) → Vecℚℓ，使得ω(hⁱ X)＝Hⁱₑₜ(Xғ，ℚℓ).此函子保持特征多项式，这表明有 ¹⁶ Z(hⁱ X ，t)＝Pᵢ(X，t)⁽⁻¹⁾ⁱ⁺¹.故，

Z(X，t)＝Z(h⁰ X ，t) · · · Z(h²ⁿ X，t).

由 (4) 和 (7)，我们知道此等式右边等于 Z(h X，t)，故 Z (X，t)＝Z(hX，t).

ℚ上的母题 M 可以由一个 ℚ 上的射影光滑簇 X，一个 X × X 上的代数链 γ ，和一个整数 m 所刻画.除去有限多个以外，对所有的素数 p，约化 X 和 γ 可给出 𝔽ₚ 上的母题 Mₚ，因此我们可以定义

ς(M，s)＝∏ Z(Mₚ，p⁻ˢ).

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