特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-6)

力迫法可以看作是生活在 M 中的人，通过一种力迫语言来描述了的一种可能的世界，而这种在 M 中的人们看来可能的世界，在 M “之外”的人们看来却是一个现实的集合模型 M[G]。我们定义 M 中人们用来指称 M[G]中对象的专名(P-名)的集合 MP：

定义 2.2.10 τ 是 P-名，当且仅当 τ 是关系，且对任意（π,p) ∈ τ，π是 P-名且p ∈ P.

注意，上述定义应理解为递归定义，而并非循环定义.

定义 2.2.11 τ 是 P-名， G 是脱殊滤.令

τG = {πG | ∃p ∈ G)(π,p) ∈ τ}.

定义脱殊扩张

M[G] = {τG | τ ∈ MP}.

注意， τG 的定义也是递归的.

我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名.

定义 2.2.12 对任意 x，定义 x˙ ={(y˙,p) | y ∈ x,p ∈ P}.

显然，对任意 x，x˙是P-名，通过归纳，容易证明，x˙G = x。因此 M ⊆ M[G].

我们定义脱殊滤的典范名：

定义 2.2.13 G˙ = {(p˙,p) | p ∈ P}.

注意， G˙ 其实不依赖于具体的脱殊滤 G 且 G˙ ∈ M。 G˙是 M 中的人们用来指称 G 的名字，但生活在 M 中的人并不知道 G 到底是什么.事实上, G 是 M 中人们完全认识 M[G] 所缺的唯一信息。通过 G，所有 P-名都得到明确的解释（定义 2.2.11)，包括 G 自身:

GG = G ∈ M[G].

因而，在非平凡的情况下，我们期望 M ⊆ M[G].

最后，我们定义力迫语言的语义，即条件与力迫语言公式之间的力迫关系 (╞).

定义 2.2.14 (1) (a) p ╞ τ1 ⊆ τ2，当且仅当对任意（π,r) ∈ τ1，集合 {q ≤ p | q ≤ r → q ╞ π ∈ τ2}在p之下稠密.

p ╞ τ1 = τ2，当且仅当 p ╞ τ1 ⊆ τ2 且 p ╞ τ2 ⊆ τ1.

(b)p ╞ τ1 ∈ τ2，当且仅当集合 {q ≤ p | ∃(π,r) ∈ τ2(q ≤ r Λ q ╞ π = τ1)}在p之下稠密。

(2) p ╞ φΛψ，当且仅当 p ╞ p 且 p╞ ψ.

(3) p ╞ ¬φ，当且仅当对任意 q ≤ p，并非 q ╞ φ.

(4) p ╞ ∃xφ(x)，当且仅当集合 {q ∈ P | ∃π(π 是P-名 Λq ╞ φ(π))} 在 p 之下稠密.

上述定义中， (i) 中的 (a)、(b) 是基于 τ1,τ2 所属阶层的递归定义。该部分,即条件与原子公式的力迫关系，在 M 下是绝对的。而整个定义，即 (i)-(iv)，应被视为基于公式复杂度的递归定义。请注意 (iv) 子句中的无界量词 ∃π，所以一般地力迫关系不是绝对的，即（p ╞ φ)M 一般不等价于 p ╞ φ.

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