特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-7)

力迫关系可理解为 M 中的人11所掌握的关于 M[G] 的一般知识的体系.即如果 p 力迫 φ，那么无论 M[G] 到底是什么（无论取什么 G)，若条件 p 真(p ∈ G)，则 φ 也真(φM[G])，这正是下述定理所表达的

定理 2.2.15 M 是 ZFC 的可数传递模型， P 是 M 中偏序，G是P上(相对于 M)的脱殊滤.则存在 M 的脱殊扩张 M[G] ，给定公式 φ(v1,...,vn)(所有自由变元已列出)和 τ1,...,Tn ∈ MP，则

φ(τG1,...,τGN)M[G],当且仅当 ∃p ∈ G(p ╞ φ(τ1,...,τn))M.

由此，可以进一步得到脱殊扩张基本定理.

定理 2.2.16 （脱殊扩张基本定理） M 是 ZFC 的可数传递模型， P 是 M 中偏序， G 是 P 上 (相对于 M) 的脱殊滤，则存在 M 的脱殊扩张 M[G]，满足：

(1) M[G] 是 ZFC 的传递模型；

(2) M ⊆ M[G]H Ge M[G]；

(3) M[G] 是满足 (1)、(2) 的最小模型.

显然，脱殊扩张 M[G]可以被看作是 M 加上一个脱殊滤 G 生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计 M 中的偏序 P 来逐步追近那个无法在 M 中存在的脱殊滤 G，使得生成的 G 见证了 M[G] 满足我们所希望的性质.

集合论多宇宙

集合论多宇宙观

..the set of all truths of the transfinite universe cannot be reduced to the set of truths of some explicit fragment of the universe...

- W. Hugh Woodin [52, 103]

本章中，作者将介绍 2010 年前后由 Joel David Hamkins 在[20]中第一次系统地阐释的集合论多宇宙观（Multiverse View）的哲学立场.之后，作者将论证该哲学立场要么与它声称反对的传统集合实在论立场相融，要么实际上就是一种形式主义的数学哲学.

在下面的讨论中，我们主要关注的仍然是多宇宙观、传统集合实在论以及形式主义立场对数学研究的实际影响，而暂时忽略它们背后的哲学渊源.例如，人们可以将多宇宙观对人们在各种集合论宇宙中经验的强调理解为一种经验主义的传统，从而与显然是理性主义传统的集合实在论截然对立，但这并不是本章，也不是整个论文所关注的方向，后文中的论证依然重点着眼于多宇宙观等哲学立场对具体问题的看法.

首先，我将简单介绍多宇宙观酝酿产生的学科发展背景，以及多宇宙观的基本观点。

5.1 集合论模型与多宇宙观

我们知道传统集合实在论认为，作为数学对象的所有集合客观地存在于集合论宇宙中.我们对于这些集合的理解，要么符合事实，要么不符合.人们对集合的理解，也即人们的集合概念体现为集合论的诸公理.集合论公理系统可以看作是对集合这个概念的隐定义.然而，不完全现象说明人们对集合概念的理解是不充分的.传统实在论的目的就是逼近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立.显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.

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