特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-5)

1963 年，科恩（Paul Cohen)发明了称为力追法的有力工具，并证明了连续统假设的否定的一致性，即

(2.2.2) ZFC ╞ Con(ZFC)→Con(ZFC+¬CH).

与哥德尔对已有 ZFC 模型 M 进行限制从而得到满足特定命题的子模型 LM 的构造方式不同，力迫法所构造的模型 M[G] 是包含给定模型 M 为其子模型的更大的模型.

假设 ZFC 一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理8，就存在一个 ZFC 的集合模型.再由定理 2.3.5，及 Mostowski 坍塌，可以得到一个 ZFC 的可数传递模型。我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(ground model).9

假设 M 是一个可数传递模型,令(P,＜) ∈ M 是 M 中的一个偏序。由于 M 是传递的，P，＜以及任意 p ∈ P 都在 M 中。10为了直观，我们把 P 中元素称作条件(condition)。对 p,q ∈ p，若 p ≤ q(p＜q或p=q)，我们称条件 p 比 q 强；若 p⊥q，即不存在 r ∈ P 满足 r ≤ p 且 r ≤ q，则称条件 p 与 q 不相容或不能同真.

定义 2.2.6 假设 P 是偏序，我们称 D ⊆ P 是稠密的(dense)，当且仅当对任意 p ∈ P，存在 q ∈ D 满足 q ≤ p.

给定 p ∈ P，我们说 D ⊆ P 在 p 之下稠密，当且仅当 D∩P↑p 是 P↑p 的稠密子集。其中 P↑p = {q ∈ P | q ≤ p}.

定义 2.2.7 假设 P 是偏序。我们称 F ⊆ P 是偏序 P 上的滤，当且仅当

(1) F ≠P,

(2) 若 p ∈ F且 p＜q，则 q ∈ F，

(3)若 p,q ∈ F，则存在 r ∈ F并且 r ≤ p 且 r ≤ q

定义 2.2.8 假设 P 是模型 M 中的偏序， G 是偏序 P 上的滤。我们称 P上的滤 G 是 M-脱殊滤(generic filter)，当且仅当对任意 D ∈ M，若 D 是 P 的稠密子集，那么 G∩D ≠ Ø.

我们一般要求力迫法的原模型 M 是可数的，是因为这样的话，对任意 M 中的偏序 P 只有可数个 M 中的 P 上的稠密集.假设{Di | i ＜ κ }是 M 中所有的 P 上的稠密集。任取 p0 ∈ D0。对任意 i，取 pi+1 ∈ Di+1 使得 pi+1 ≤ pi。因为所有 Di 都是稠密的，所以 pi 总能够取到。令 G ＝{q ∈ P | ∃i ＜ κ(pi ≤ q)}.容易证明， G 是滤，并且是 M-脱殊滤。因此，可数模型中的任意偏序上总存在脱殊滤。

严格来说，我们对于用来力迫的条件集，即偏序 P 没有任何额外要求.但在力迫法的实际运用中，偏序集 P 都满足如下性质：

(2.2.3) 对任意 p ∈ P，存在 q ≤ p,r ≤ p，满足 q ⊥ r.

定理 2.2.9 P ∈ M 是偏序. P 满足 (2.2.3)，当且仅当任意 P 上脱殊滤 G ∈M.

因此，对于不满足(2.2.3)的偏序，存在其上脱殊滤 G ∈ M.又根据定理 2.2.16，由此生成的脱殊模型 M[G]= M，将没有意义，我们称之为平凡力迫。

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