特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-4)

我们可以证明，任给一个可数的可计算饱和的模型 M，它的内模型和力迫扩张同样在某个可计算饱和(因而也是ω非标准的)模型中，所以也是可计算饱和的,即在 CCSM(ZFC)中.

值得说明的是，在可数化公理和伪良基公理中，我们并不要求那个“更好的”模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.事实上， N 中的句子集 ZFC 被编码为 N 中的那个非标准的 ω 的子集，是一个非标准的 ZFC.所以，尽管实际上 M 是 ZFC 的模型， N 仍可能认为 M 只满足它所认识的 ZFC 的一个前段.

然而，在一定的假设之下，还是可以找到一个模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.

引理 5.2.8（Gitman-Hamkins）如果 M 是可数的可计算饱和的 ZFC 模型，那么下面两个命题等价:

(1)理论 TM =ZFC+{ Con(ZFC + Γ) | Γ 是 Th(M)的有穷子集 }是一致的.

(2)存在可数的可计算饱和的 ZFC 模型 N， M 是 N 中的元素，并且 N 认为 M 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型.

我们会在后面看到， TM 一致这个假设其实并不很强.

需要注意的是，在传统实在论者看来，一个 ZFC 甚至 ZF 的模型可以被称为一个集合论宇宙，但这些模型绝不是他们心目中的那个绝对的囊括所有集合的宇宙。类似地，我们在这里把 CCSM(ZFC)称作一复宇宙，只是表名它满足定义 5.2.1 的复宇宙公理.它绝不可能是二阶实在论所理解的那个绝对的复宇宙,因为它事实上是某个集合论宇宙中一个可定义的类。此外，就像 ZFC 不是对集合论宇宙的完备的描述，我们没有理由以为定义 5.2.1 中所列复宇宙公理是完备的。事实上，人们期待着一种根本上不同于力迫扩张的新的集合论模型构造方式,也即一种新的一致性证明方式的发现.

总之， Hamkins 通过这一结论试图说明的仅仅是，多宇宙观对复宇宙的理解至少是一种一致的无法被逻辑证否的哲学假说.　　

脱殊复宇宙

脱殊复宇宙

定义1.

令M为ZFC的可数传递模型,则由

M生成的脱殊多宇宙VM为满足以

下条件的最小模型类:

1. M ∈ V M;

2.如果N∈VM,而N'=N[G]是N的脱殊扩张,则N'∈VM;

3.如果N∈VM,而N=N'[G]是N'的

脱殊扩张,则N'∈VM。

简单说, VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V.

定义2.2 (脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M,和对任意集合论语言中的语句σ,我们称·σ是M-脱殊多宇宙真的,当且仅当它在VM的每个模型中都真,记

作VM=o；

·σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅VM╞σ；

·σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VM╞¬σ并且VM=¬σ。

特别地,如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真,则称σ是脱殊多宇

宙真的,记作V╞σ。

脱殊扩张:

力迫法

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