特殊篇章完整版集合论序列（公理） (14-3)

总的来说，复宇宙公理所要表达的是，复宇宙是没有中心的，没有一个集合论宇宙可以被看作是标准的.我们看到的或想象我们生存于其中的那个集合论宇宙，在别的宇宙看来可能只是一个可数的世界；或者它不是一个良基的世界；它可能是另一个世界中的超幂或者是布尔值模型下的一种可能性.并且，即使我们能跳出当前的宇宙，从更高明的角度审视并意识到这些问题，我们仍然只不过是处于一个更高级的幻觉中而已.

Gitman 和 Hamkins 在[15]中证明了，假设 ZFC 是一致的，那么看似荒谬的复宇宙公理并不蕴含着矛盾.

定义5.2.4（可数的可计算地和模型类） 令 T 是一个集合论理论，

CCSM(T)={(m, E) | m 可数,且(m, E)是 T的可计算饱和模型}

是由所有满足 T 的可数可计算饱和的集合论模型组成的类.

一个集合论模型 M 是可计算饱和的，当且仅当对于任意可计算的公式集 Ø(x,a)(其中至多包含一个自由变元 ,一个参数 α ∈ M)。如果 Ø(x,a)的每个有穷子集在 M 中可实现(即有穷可实现),那么整个 Ø(x,a) 在 M 中可实现,即存在 b ∈ M 使得 M╞ Ø[b,a].

容易验证，任何可计算饱和的集合论模型都有一个非标准的 ω。因为，公式集 {x ＜ ω,x ＞ 0,x ＞ S0,...,x ＞Sn0,…} 是可计算的，也是 M 中有穷可实现的.

定理 5.2.5（Gitman-Hamkins）假设 ZFC 一致，那么 CCSM(ZFC)满足所有复宇宙公理.即所有可数的可计算饱和的 ZFC 模型组成了一个复宇宙，证明概述首先，引理 5.2.6 是整个证明的核心引理.

引理 5.2.6 任给两个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，如果它们有相同的标准系统，那么这两个模型同构.

我们知道,一个ω非标准的模型 N 中不存在标准的 ω，也不存在在标准 ω 的无穷子集.但我们可以说 N 中的一个自然数子集 (非标准的) α0 是一个标准的自然数子集 A 的代码(code)，当且仅当 A ＝ α1 ∩ω。我们说一个模型 M 的标准系统(standard system)，是指所有能用 M 中元素编码的标准的自然数子集，既 SSy(M) = {ω∩α1 | α0 ∈ M}

在证明可数化和伪良基公理成立的时候，我们实际上证明的是任何一个可数的可计算饱和模型 N 都含有一个自己的副本，即含有一个元素 α，并认为它是一个可数的非良基集合论模型（m, E)，而通过引理 5.2.6 可以证明，从外面看，该模型与 N 同构，反过来说，每个可数的可计算模型都在自己的一个副本之中，且被自己认为是可数的并且是非良基的.

类似地，假设 Mi 是个可数的可计算饱和模型，并且 j ：M1 → M2。我们可以利用引理 5.2.6 证明，事实上存在一个同构 M1 ≃ M2，并且在 Mz中以同样方式定义的 j2 = j1(j1)。因此，就像站在 M2 的角度看，存在模型 M0 (其实是 M1 自己)及其中同样地定义的初等嵌入 j0 ：M0 → M1 使得 j1 = j0(j0).

运用引理 5.2.7

引理 5.2.7 假设 N 是拥有一个非标准的w的 ZFC 模型，那么 N 中的模型都是可计算饱和的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。