第六章特殊篇章数学公理解释额外内容 (13-9)

定理 5.1.1假设 M 是一个集合论模型， U 是 M 中的超滤. U 不是可数完全的.即存在 U 中的 A0, A1,...， An，...。使得 ∩n An = ∅.那么，存在一个 Ult(M,U)中的“属于”关系的无穷下降链。

证明 令 A = ∪U，即 U 是 A 上超滤.由于滤对于有穷交封闭，我们可以安全地假设

A0 ⊃ A1 ⊃ … ⊃ Am ⊃ ....

令Bn = An\An+1.定义 M 中函数 f：A → ω，对 a ∈ Bn，

fi(α) = { n-i 若n-i

{ 0 否则}.

f₀ f₁ f₂ … A A₀ A1 A₂ B₀

无穷下降链（内容）

容易验证(如表现5.1.1)，对任意i, {α ∈ A|fi+1(α) ∈ fi(α)} ∈ U，即|fi+1| ∈ Ult(M,U)|fi|.

2Hamkins 在所有作者所知的学术报告中，都把多宇宙观称作二阶实在论，但在[20]中他谨慎地将多宇宙观表述成一种高阶实在论，他似乎不排除将他的多宇宙观往更高阶的推广的可能.

注意， Uht(M,U)与 M 初等等价，因而满足良基公理，即它不认为其中有无穷长的“属于”关系的下降链，但是，从外面看，我们仍然可以找到无穷长的下降链.

我们知道，两个相同的模型(往往在同构的意义上)总是满足同样的句子，因而适合于它们的集合概念应该是一样的.然而，按照多宇宙观的看法，一个集合论模型可以在不同的宇宙中被检视.例如， M 是 N 中的一个集合模型，而 N 本身也是 V 中的一个集合模型.那么，有可能 N 认为 M 所满足的公式与 V 认为 N 中的 M 所满足的公式并不相同.读者可以在 5.2 节中找到具体的例子.

因此，我们必须问多宇宙观的拥护者，他们到底是强调那些集合论模型的实在性还是强调没有一个绝对的关于集合的概念.作者将论证：如果多宇宙观强调的是各种集合论模型的存在，那么这种哲学观点可以与传统的集合实在论相容，我们仍然可以设想有一个真实的反映集合的客观实在的集合概念.如果多宇宙观强调的是不存在一种绝对的集合概念，那么它在实践上就是一种形式主义.

复复宇宙公理

虽然在 Hamkins 的文章中，他实际上主张的是二阶集合实在论，描绘的是他心目中那个绝对的复宇宙的图景，但他也意识到多宇宙观的拥护者没有特别的理由把自己限制在二阶实在论。显然，复宇宙公理，或者说我们对集合论宇宙概念的理解不是完备的，推广多宇宙观的对集合论宇宙的看法，我们也可以宣称并没有一个绝对的复宇宙，而是存在很多种不同的复宇宙，满足不同的关于集合论宇宙之间关系的命题.这些复宇宙之间又具有一定的关系。当然，就像我们还没有完备地理解集合之间的关系、集合论宇宙之间的关系，我们对复宇宙之间关系的了解肯定更加模糊，但我们仍然能模仿集合论公理和集合论复宇宙公理，来试着描述一下二阶复宇宙，即复复宇宙中存在着哪些对象.

定义 5.2.9 （复复宇宙公理)存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙 N 以及 N中的一个 ZFC 模型 N，使得在 N 看来， M 是一个由可数的非良基的 ZFC 模型组成的复宇宙.

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